線形代数 · 第25回 · 動画1 · インタラクティブ教材

転置だけでは足りない：複素数の線形代数を救う共役転置

I重要な公式

概念 実数の場合 複素数の場合
長さの二乗 xTxx^T x zHz=∣z1∣2+∣z2∣2+⋯+∣zn∣2z^H z = |z_1|^2 + |z_2|^2 + \cdots + |z_n|^2
内積 yTxy^T x ⟨x,y⟩=yHx\langle x, y \rangle = y^H x
対称 / エルミート AT=AA^T = A AH=AA^H = A
直交 / ユニタリ QTQ=IQ^T Q = I QHQ=IQ^H Q = I なので Q−1=QHQ^{-1} = Q^H

共役転置 AHA^H は、転置してから各成分の共役をとったものです。規則は簡単で、転置するときは、必ず共役もとることです。

II可視化1 — 転置だけではうまくいかない理由

複素ベクトルでは、ただの zTzz^T z は 0 や負の数になりえます。0 以上の実数の長さを与えるのは zHzz^H z だけです。

III可視化2 — エルミート行列を組み立てる

AA は AH=AA^H = A のときエルミート行列です。そのためには、対角成分が実数で、非対角成分が共役な組でなければなりません。

IV可視化3 — ユニタリ行列を確かめる

QQ は QHQ=IQ^H Q = I のときユニタリ行列です。つまり、その列は複素内積について正規直交です。

V確認クイズ

問1

z=[21+i]z = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 + i \end{bmatrix} とします。zHzz^H z（長さの二乗）はいくつですか。

✅ 正解です！ 各 ∣zi∣2|z_i|^2 は 0 以上の実数で、∣2∣2+∣1+i∣2=4+2=6|2|^2 + |1+i|^2 = 4 + 2 = 6 です。

❌ 惜しい！ それは共役をとらずに zTzz^T z を計算したときの値です。こういう意味のない答えが出てしまうからこそ、HH を使うのです。

❌ 惜しい！ 0 になるのは zz が零ベクトルのときだけですが、z≠0z \ne 0 です。共役をとれば、長さの二乗は正になります。

❌ 惜しい！ ∣z1∣2+∣z2∣2|z_1|^2 + |z_2|^2 を計算してみましょう。ここで ∣a+bi∣2=a2+b2|a+bi|^2 = a^2 + b^2 です。

解答を見る

解答：

zz の共役転置は zH=[21−i]z^H = \begin{bmatrix} 2 & 1 - i \end{bmatrix} です（転置してから、各成分の共役をとります）。

zHz=2⋅2+(1−i)(1+i)=4+(1−i2)=4+(1+1)=6z^H z = 2 \cdot 2 + (1 - i)(1 + i) = 4 + (1 - i^2) = 4 + (1 + 1) = 6

同じことを、zHz=∣2∣2+∣1+i∣2=4+2=6z^H z = |2|^2 + |1 + i|^2 = 4 + 2 = 6 と計算することもできます。結果は、保証されているとおり正の実数です。

問2

zz が列ベクトル [12i]\begin{bmatrix} 1 \\ 2i \end{bmatrix} のとき、zHz^H はどれですか。

✅ 正解です！ 転置で列が行に変わり、共役で 2i2i が −2i-2i に変わります。

❌ 惜しい！ 転置はしましたが、共役をとり忘れています。HH には両方のステップが必要です。

❌ 惜しい！ 共役はとりましたが、転置を忘れています。HH は形を入れ替え、さらに共役もとります。

❌ 惜しい！ HH が実部の符号を変えることはありません。符号が反転するのは虚部だけです。

解答を見る

解答：

HH を2つのステップで施します。

  1. 転置：列 [12i]\begin{bmatrix} 1 \\ 2i \end{bmatrix} が行 [12i]\begin{bmatrix} 1 & 2i \end{bmatrix} になります。
  2. 各成分の共役をとる：11 は 11 のまま、2i2i は −2i-2i になります。

したがって zH=[1−2i]z^H = \begin{bmatrix} 1 & -2i \end{bmatrix} で、これは行ベクトルです。

問3

次の行列を考えます。 A=[42+3i2−3i7].A = \begin{bmatrix} 4 & 2 + 3i \\ 2 - 3i & 7 \end{bmatrix}.

正しいか誤りか：AA はエルミート行列である。

✅ 正解です！ 対角成分は実数で、非対角成分 2+3i2+3i と 2−3i2-3i は共役な組なので、AH=AA^H = A です。

❌ 惜しい！ 2つの条件を確かめましょう。対角成分 4,74, 7 は実数で、非対角成分 2+3i2+3i と 2−3i2-3i は互いに共役です。エルミート行列の条件は満たされています。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上のヒントが役に立ちます。

解答を見る

解答：

AH=AA^H = A となるための構造上の条件を確かめます。

  • 対角成分は実数か？ 44 と 77 で、どちらも実数です。
  • 非対角成分は共役な組か？ A12=2+3iA_{12} = 2 + 3i、A21=2−3iA_{21} = 2 - 3i です。必要なのは A21=A12‾=2+3i‾=2−3iA_{21} = \overline{A_{12}} = \overline{2 + 3i} = 2 - 3i で、確かに互いに共役です。

両方の条件が成り立つので AH=AA^H = A であり、AA はエルミート行列です。

問4

行列 QQ はユニタリ行列、つまり QHQ=IQ^H Q = I を満たすとします。Q−1Q^{-1} について正しいのはどれですか。

✅ 正解です！ QHQ=IQ^H Q = I から Q−1=QHQ^{-1} = Q^H が読み取れます。ユニタリ行列の逆行列は、共役転置をとるだけの手間で求まります。

❌ 惜しい！ それは実数の直交行列の規則です。複素数のユニタリ行列では共役が欠かせません。一般に QTQ≠IQ^T Q \ne I です。

❌ 惜しい！ Q2=IQ^2 = I を満たすのは特別な行列（対合）だけです。ユニタリ行列の一般的な規則は Q−1=QHQ^{-1} = Q^H です。

❌ 惜しい！ ユニタリ行列はつねに可逆です。QHQ=IQ^H Q = I という式から Q−1=QHQ^{-1} = Q^H がわかります。

解答を見る

解答：

定義より QHQ=IQ^H Q = I です。両辺に右から Q−1Q^{-1} を掛けると、次のようになります。

QH=Q−1.Q^H = Q^{-1}.

つまり、ユニタリ行列の逆行列は共役転置そのものであり、計算はきわめて簡単です。これは「直交行列の逆行列は転置である」という事実を、複素数の場合へ一般化したものです。

注意：複素数の QQ では、QTQ^T だけでは逆行列になりません。共役が欠かせないのです。たとえば Q=12[1ii1]Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix} では、QTQ≠IQ^T Q \ne I ですが QHQ=IQ^H Q = I であることが確かめられます。

正解数：0 / 4