線形代数 · 第25回 · 動画2 · インタラクティブ教材

フーリエ行列の逆行列がほぼタダで求まる理由

I重要な公式

公式	名称	説明
$w = e^{2\pi i / n}$	1 の原始 $n$ 乗根	$n$ は $w^n = 1$ となる最小の指数
$(F_n)_{ij} = w^{ij}$	フーリエ行列の成分	添字は $i,j = 0, \ldots, n-1$
$\langle u, v \rangle = \sum_k \overline{u_k}\, v_k$	エルミート内積	先に共役をとってから掛ける
$F_n^{-1} = \frac{1}{n} F_n^{H}$	フーリエ行列の逆行列	共役転置を $1/n$ 倍したもの

II可視化1 — 1 の冪根

$w = e^{2\pi i/n}$ のべき乗は、単位円上に等間隔に並ぶ $n$ 個の点に乗ります。

n 4 指数 k 0

💡 $w$ を掛けるたびに $2\pi/n$ だけ回転し、 $n$ 回で $w^n = w^0 = 1$ に戻ります。この巡回的な対称性が $F_n$ を満たしています。

III可視化2 — フーリエ行列の成分

どの成分 $(F_n)_{ij} = w^{ij}$ も $w$ のべき乗で、0 行目と 0 列目はすべて 1 です。

行列のサイズ n 4

IV可視化3 — 列どうしの内積

$F_4$ の異なる列は直交し、内積は $0$ です。列とそれ自身の内積は $n = 4$ になります。

列

j_1

列

j_2

💡 異なる列どうしは打ち消し合って $0$ に、同じ列どうしは $n$ になります。だから $F_n^H F_n = nI$ で、 $F_n^{-1} = \tfrac{1}{n} F_n^H$ です。

V確認クイズ

問1

$w = e^{2\pi i/4} = i$ を 1 の原始 4 乗根とします。 $w^6$ はいくつですか。

✅ 正解です！ $w^6 = w^{6 \bmod 4} = w^2 = -1$ です。

❌ 惜しい！ 指数を、まず 4 で割った余りに置き換えましょう。 $w^4 = 1$ だからです。

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解答：

$w^4 = 1$ なので、指数を 4 で割った余りに置き換えられます。 $w^6 = w^{6 \bmod 4} = w^2 = i^2 = -1$

フーリエ行列の成分は、まさにこうして埋めていきます。 $w$ のどんなべき乗も、 $w^0, w^1, w^2,$ または $w^3$ のどれかに直せます。

問2

列の番号を 0 から数えて、 $F_4$ の列 1 と列 3 を考えます。

$u = (1, i, -1, -i)$ と $v = (1, -i, -1, i)$ です。

エルミート内積 $\langle u, v \rangle = \sum_k \overline{u_k} v_k$ を使うと、 $\langle u, v \rangle$ はいくつですか。

✅ 正解です！ $F_n$ の異なる列は、エルミート内積について直交します。

❌ 惜しい！ 共役をとるステップを飛ばしたのかもしれません。エルミート内積では、1つ目のベクトルの共役をとります。

❌ 惜しい！ まず $u$ の共役をとり、それから成分ごとに掛けて足しましょう。

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解答：

まず $u$ の共役をとります： $\bar{u} = (1, -i, -1, i)$ 。

次に、 $v = (1, -i, -1, i)$ と成分ごとに掛けて足します。

$\langle u, v \rangle = (1)(1) + (-i)(-i) + (-1)(-1) + (i)(i)$ $= 1 + i^2 + 1 + i^2 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

エルミート内積について、これらの列は直交しています。これが $F_n^H F_n = nI$ の鍵となる事実です。

問3

正しいか誤りか： $4 \times 4$ のフーリエ行列 $F_4$ について、行列 $F_4^H F_4$ は $4I$ （単位行列の4倍）に等しい。

✅ 正解です！ まさにこのために、 $F_4^{-1} = \frac{1}{4}F_4^H$ となるのです。

❌ 惜しい！ 各列の長さの二乗は 4 で、異なる列は直交しているので、 $F_4^H F_4$ は対角線に 4 が並ぶ対角行列です。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上のヒントが役に立ちます。

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解答：

成分 $(F_4^H F_4)_{ij}$ は、 $F_4$ の列 $i$ と列 $j$ のエルミート内積です。

対角成分（ $i = j$ ）：各列の長さの二乗は $|1|^2 + |i|^2 + |-1|^2 + |-i|^2 = 4$ です。
非対角成分（ $i \ne j$ ）：異なる列は直交しているので、内積は $0$ です。

したがって $F_4^H F_4 = 4I$ で、4 で割ると次のようになります。 $F_4^{-1} = \frac{1}{4} F_4^H$

問4

一般の $n \times n$ フーリエ行列 $F_n$ について、 $F_n^{-1}$ はどれですか。

✅ 正解です！ $F_n^H F_n = nI$ なので、逆行列は $\frac{1}{n}F_n^H$ です。

❌ 惜しい！倍率が抜けています。 各列の長さの二乗は 1 ではなく $n$ なので、 $1/n$ の係数が必要です。

❌ 惜しい！ 鍵となる関係式は $F_n^H F_n = nI$ です。これを $F_n^{-1}$ について解きましょう。

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解答：

$F_n$ の列はエルミート内積について互いに直交し、どの列も長さの二乗は $n$ です（ $|w^{kj}|^2 = 1$ となる成分が $n$ 個あるからです）。

したがって、 $F_n^H F_n = nI \implies F_n^{-1} = \frac{1}{n} F_n^H$

逆離散フーリエ変換が、順方向の離散フーリエ変換と本質的に同じなのはこのためです。共役をとって $n$ で割るだけで、ガウスの消去法はいりません。この同じ直交性が、高速フーリエ変換（FFT）や JPEG の画像圧縮、偏微分方程式の数値解法を支えています。

正解数：0 / 4