線形代数 · 第26回 · 動画1 · インタラクティブ教材

一つの行列に四つの判定法：正定値性に隠れた統一

I重要な公式

$2\times 2$ の対称行列 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ が正定値であるかどうかを判定する、同値な 4 つの判定法は次のとおりです。

判定法	条件
固有値	$\lambda_1, \lambda_2 > 0$ がともに成り立つ
左上の小行列式（左上の主小行列式）	$a > 0$ かつ $ac - b^2 > 0$
ピボット	$a > 0$ かつ $(ac - b^2)/a > 0$
二次形式	任意の $x \neq 0$ に対して $x^T A x = a x_1^2 + 2b x_1 x_2 + c x_2^2 > 0$

この 4 つの判定法は論理的に同値です。一つに合格すれば、すべてに合格。一つで不合格なら、すべて不合格です。

II可視化1 — 4 つの判定法、一つの結論

対称行列のどの成分を変えても、4 つの判定法の結論はいっせいに切り替わります。

a（左上） 2 b（非対角） 6 c（右下） 20

III可視化2 — ぎりぎりの境目

$a=2,\ b=6$ を固定すると、鞍の形とお椀の形を分けるのは $\det = 2c - 36$ の符号だけです。

c 18

IV確認クイズ

問1 · 判定法を使う

次の対称行列を考えます。 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}.$

$A$ は正定値でしょうか。

✅ 正解です！ 左上の小行列式がどちらも正なので、 $A$ は正定値です。

❌ 惜しい！ 公式は $b^2 - ac$ ではなく $\det = ac - b^2$ です。また、非対角成分が 0 でなくてもまったく問題ありません。正定値行列のほとんどは、0 でない非対角成分をもっています。

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解答：

左上の小行列式による判定を使います。

1 つ目の主小行列式： $a = 3 > 0$ ✓
2 つ目の主小行列式： $\det(A) = ac - b^2 = (3)(5) - (2)^2 = 15 - 4 = 11 > 0$ ✓

左上の小行列式がどちらも正なので、 $A$ は正定値です。

固有値で確かめることもできます。トレース $= 8$ 、 $\det = 11$ なので $\lambda^2 - 8\lambda + 11 = 0$ となり、 $\lambda = 4 \pm \sqrt{5}$ です。どちらも正です。

二次形式で確かめても同じです。 $x \neq 0$ なら $x^T A x = 3 x_1^2 + 4 x_1 x_2 + 5 x_2^2 = 3(x_1 + \tfrac{2}{3} x_2)^2 + \tfrac{11}{3} x_2^2 > 0$ です。

問2 · 行列式の落とし穴

ある学生が次のように主張しました。「 $\det(A) > 0$ ならば、 $A$ は必ず正定値である。」

この主張は正しいでしょうか、誤りでしょうか。

✅ 正解です！ 行列 $\text{diag}(-1, -1)$ の行列式は $+1$ ですが、この行列は負定値です。左上の小行列式がすべて正でなければなりません。

❌ 惜しい！ $A = \text{diag}(-1, -1)$ を考えてみましょう。行列式は $+1$ ですが、固有値は 2 つとも負です。負の数どうしの積は正になるのです！

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解答：

誤りです。行列式が正というだけでは、正定値であることは示せません。

反例： $A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

この行列は $\det(A) = (-1)(-1) - 0 = 1 > 0$ ですが、固有値は 2 つとも $-1$ です。つまり $A$ は負定値で、正定値とは正反対です。

$2 \times 2$ 行列では、左上の小行列式がすべて正でなければなりません。

$a > 0$ （左上の $1\times 1$ ブロック）
$ac - b^2 > 0$ （ $2\times 2$ 行列全体の行列式）

最後の一つだけでなく、両方の条件が必要です。なぜなら、固有値が 2 つとも負でも、その積（行列式）は正になりますが、行列は負のエネルギーを生むからです。

問3 · 行列を分類する

次の行列を考えます。 $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}.$

$x = (1, -1)$ で $x^T A x$ を計算すると $2 - 12 + 7 = -3 < 0$ になります。

この 1 回の計算から、 $A$ について何がわかるでしょうか。

✅ 正解です！ $x^T A x$ が一度でも負になれば、正定値ではないと言えます。（実際、この行列は不定値で、固有値の一つが正、もう一つが負です。）

❌ 惜しい！ 正定値であるためには、0 でない任意の $x$ に対して $x^T A x > 0$ でなければなりません。負になる $x$ が一つ見つかれば、それで正定値は否定されます。

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解答：

$x^T A x$ が一度でも負の値をとれば、その時点で正定値の可能性は消えます。定義は、0 でない任意の $x$ に対して $x^T A x > 0$ を要求しているからです。反例が一つあれば、判定は不合格です。

$x^T A x = -3 < 0$ が見つかったので、行列 $A$ は正定値ではありません。不定値か負定値のどちらかです（ここではトレース $= 9 > 0$ なので少なくとも一つの固有値は正であり、不定値だとわかります）。

ほかの判定法でも確かめてみましょう。

$\det(A) = (2)(7) - 36 = -22 < 0$ — 負なので、左上の小行列式による判定で不合格
ピボット： $2$ 、次に $-22/2 = -11$ — 2 つ目のピボットが負なので、ピボットによる判定で不合格
固有値： $\lambda^2 - 9\lambda - 22 = 0 \Rightarrow \lambda \approx 11.0$ と $\lambda \approx -2.0$ — 一つが負

4 つの判定法の結論は一致します。 $A$ は不定値です。

問4 · 二次形式の幾何

対称行列 $A$ について、 $\mathbb{R}^2$ 上の $f(x) = x^T A x$ のグラフは曲面になります。等高線 $\{x : x^T A x = 1\}$ が楕円になるのは、ちょうどどの場合でしょうか。

✅ 正解です！ 正定値 ⟺ グラフがお椀の形 ⟺ 等高線が楕円。軸の長さは固有値で、軸の向きは固有ベクトルで決まります。

❌ 惜しい！ 鞍の形なら双曲線、谷の形なら平行な 2 本の直線になり、伏せたお椀の形では高さ $+1$ の実数の等高線は存在しません。閉じた楕円になるのは、お椀の形（正定値）のときだけです。

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解答：

等高線 $\{x : x^T A x = 1\}$ が楕円になるのは、 $A$ が正定値のとき、かつそのときに限ります。

幾何的な対応は次のとおりです。

$A$ の種類	曲面の形	等高線 $x^T A x = 1$
正定値	お椀（0 で狭義の最小）	楕円（閉曲線）
半正定値	谷（平らな底をもつ溝）	平行な 2 本の直線
不定値	鞍	双曲線
負定値	伏せたお椀	空集合（実数解なし）

$A$ が正定値のとき、固有値 $\lambda_1, \lambda_2 > 0$ は楕円の半軸の長さの二乗の逆数です。固有ベクトルは主軸の方向を向いています。楕円が円になるのは $\lambda_1 = \lambda_2$ のときだけです。

正定値行列がいたるところに現れるのは、この幾何的な姿があるからです。最適化では狭義の最小値を保証し、統計学では共分散行列をきちんと意味のあるものにし、物理学では安定な釣り合いをもたらします。

正解数：0 / 4