線形代数 · 第26回 · 動画2 · インタラクティブ教材

平方完成はガウスの消去法だった：正定値行列のピボット判定

I重要な公式

公式	名称	説明
$x^{T}Ax = ax_1^2 + 2bx_1x_2 + cx_2^2$	二次形式（2×2）	$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ は対称行列
$ax_1^2 + 2bx_1x_2 + cx_2^2 = a\left(x_1 + \tfrac{b}{a}x_2\right)^2 + \left(c - \tfrac{b^2}{a}\right)x_2^2$	平方完成	平方和への分解
ピボット： $d_1 = a,\ \ d_2 = c - \tfrac{b^2}{a}$	ガウスの消去法	平方和で平方の外に出る係数
乗数： $\ell_{21} = \tfrac{b}{a}$	消去の手順	平方の内側のずれ
$A \succ 0 \iff$ ピボットがすべて $> 0$	正定値性の判定	行簡約から定値性を判定

II可視化1 — ピボットが形を決める

ピボット $d_1, d_2$ の符号によって、 $x^{T}Ax$ の等高線は楕円、平行な直線、双曲線のいずれかになります。

a 2 b 6 c 20

楕円はお椀の等高線です。交わる 2 本の直線は鞍の形に、平行な直線は退化した谷の形に対応します。

III可視化2 — 平方完成 = 消去法

$A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & c \end{pmatrix}$ での平方完成の各手順は、ガウスの消去法の一つひとつの手順とぴったり対応しています。

ステップ 1

ステップ1 — 二次形式

x^{T}Ax = 2x_1^2 + 12x_1x_2 + c\,x_2^2

A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & c \end{pmatrix}

ステップ2 — ガウスの消去法

1 つ目のピボットは

d_1 = a = 2

、乗数は

\ell_{21} = \tfrac{b}{a} = \tfrac{6}{2} = 3

です。

R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1

ステップ3 — 平方完成

2\big(x_1^2 + 6x_1x_2\big) + c\,x_2^2

= 2\big(x_1 + 3x_2\big)^2 - 18x_2^2 + c\,x_2^2

平方の内側のずれ

+3x_2

が、乗数

\ell_{21}

です。

ステップ4 — ピボットによる判定

x^{T}Ax = 2\big(x_1 + 3x_2\big)^2 + (c - 18)\,x_2^2

ピボットは

d_1 = 2

、

d_2 = c - 18

なので、

A \succ 0 \iff c > 18

です。

c = 18

では谷の形、それより小さいと鞍の形になります。

乗数は平方の内側のずれに、ピボットは平方の外側の係数になります。

IV確認クイズ

次の問題で理解を確かめましょう。

問1

次の対称行列を考えます。 $A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 14 \end{pmatrix}.$ ガウスの消去法を使うと、2 つのピボットはいくつになりますか。

✅ 正解です！ ピボットがどちらも正なので、 $A$ は正定値です。

❌ 惜しい！ それはピボットではなく、 $A$ の対角成分です。2 つ目のピボットは消去のあとで変わります。

❌ 惜しい！ 消去の手順を見直しましょう。 $c - b$ ではなく $d_2 = c - b^2/a$ です。

❌ 符号の間違いです。 $-2$ ではなく $d_2 = 14 - 12 = +2$ です。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上の説明がヒントになります。

解答を見る

解答：

1 つ目のピボットは (1,1) 成分で、 $d_1 = 3$ です。

乗数は $\ell_{21} = 6/3 = 2$ です。1行目の $2$ 倍を2行目から引くと、新しい (2,2) 成分は次のようになります。

$d_2 = 14 - 2 \cdot 6 = 14 - 12 = 2.$

同じことですが、 $d_2 = c - b^2/a = 14 - 36/3 = 14 - 12 = 2.$

ピボットは 3 と 2 です。どちらも正なので、 $A$ は正定値です。

問2

正しいか誤りか：対称行列 $A$ の成分がすべて正ならば、 $A$ は正定値である。

✅ 正解です！ 成分が正でも、正定値であるとは限りません。それを保証するのは、ピボットが正であることだけです。

❌ 惜しい！ これはよくある落とし穴です。行列 $\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$ は成分がすべて正ですが、不定値です。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上の説明がヒントになります。

解答を見る

解答：

誤りです。判定の基準は成分が正かどうかではなく、ピボットが正かどうかです。

動画に出てきた反例： $A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 7 \end{pmatrix}$ は成分がすべて正ですが、

$d_2 = 7 - \frac{6^2}{2} = 7 - 18 = -11 < 0.$

なので、 $A$ は不定値です。実際、 $x = (-3, 1)$ を代入すると次のようになります。

$x^{T}Ax = 2(9) + 12(-3)(1) + 7(1) = 18 - 36 + 7 = -11.$

正しい判定法： $A$ が正定値であるのは、ピボットがすべて正のとき、かつそのときに限ります。

問3

$A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 20 \end{pmatrix}$ について $x^{T}Ax$ を平方完成すると、次の分解が得られます。

$x^{T}Ax = 2(x_1 + 3x_2)^2 + 2 x_2^2.$

平方の内側の係数 3 は、ガウスの消去法の言葉でいうと何にあたるでしょうか。

✅ 正解です！ ピボットは平方の外側の係数に、乗数は平方の内側のずれになります。

❌ 惜しい！ 1 つ目のピボットは 3 ではなく $d_1 = 2$ （1 つ目の平方の外側の係数）です。

❌ 惜しい！ 2 つ目のピボットは $d_2 = 2$ （2 つ目の平方の外側の係数）です。

❌ 惜しい！ $\det A = 2 \cdot 20 - 36 = 4$ で、3 ではありません。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上の説明がヒントになります。

解答を見る

解答：

分解は次の形をしています。

$x^{T}Ax = d_1\,(x_1 + \ell_{21} x_2)^2 + d_2\,x_2^2.$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 20 \end{pmatrix}$ の場合：

1 つ目のピボット $d_1 = 2$ （1 つ目の平方の外側の係数）
乗数 $\ell_{21} = b/a = 6/2 = 3$ （1 つ目の平方の中にある内側のずれ）
2 つ目のピボット $d_2 = 20 - 6^2/2 = 2$ （2 つ目の平方の外側の係数）

つまり、3 は消去の乗数 $\ell_{21}$ です。(2,1) 成分を 0 にするために、1行目に掛けてから2行目から引く数のことです。

動画の決め台詞：ピボットは外に、乗数は中に。

問4

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ を考えます。その二次形式 $x^{T}Ax$ を分類してください。

✅ 正解です！ ピボットの一つが 0 なので、この二次形式はただ一つの平方 $(x_1+2x_2)^2$ になります。0 以上ですが、直線 $x_1 = -2x_2$ 上では 0 です。

❌ 惜しい！ 2 つ目のピボットは $d_2 = 4 - 4 = 0$ で、正ではありません。 $x = (-2, 1)$ を試すと $x^{T}Ax = 0$ なので、この二次形式は狭義に正ではありません。

❌ 惜しい！ 分解すると完全平方 $(x_1 + 2x_2)^2$ になるので、決して負にはなりません。

❌ 惜しい！ 成分がすべて正で、 $x = (1,0)$ のとき $x^{T}Ax = 1 > 0$ となるので、負定値にはなりえません。

❌ 惜しい！ もう一度考えてみましょう。上の説明がヒントになります。

解答を見る

解答：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ に消去法を行います。

1 つ目のピボット： $d_1 = 1$
乗数： $\ell_{21} = 2/1 = 2$
2 つ目のピボット： $d_2 = 4 - 2 \cdot 2 = 0$

平方和への分解：

$x^{T}Ax = 1\cdot(x_1 + 2x_2)^2 + 0 \cdot x_2^2 = (x_1 + 2x_2)^2.$

平方なので決して負になりませんが、直線 $x_1 = -2x_2$ （0 でないベクトルからなる直線全体）の上では0 になります。したがって、この二次形式は半正定値です。

半正定値のしるしは、負のピボットではなく、欠けた（0 の）ピボットです。

正解数：0 / 4