線形代数 · 第26回 · 動画4 · インタラクティブ教材

数から形へ：3×3 行列が楕円体になるまで

I重要な公式

公式	名称	説明
$A = Q\Lambda Q^T$	主軸定理	対称行列の分解
$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 1$	楕円体の方程式	二次形式の等高線
$\text{長さ}_i = \dfrac{1}{\sqrt{\lambda_i}}$	半軸の長さ	方向は $\mathbf{q}_i$ 、固有値は $\lambda_i$
$\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$	行列式の恒等式	さらに $\text{trace}(A) = \sum \lambda_i$

動画で扱った行列： $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \lambda_1 = 2-\sqrt{2},\ \lambda_2 = 2,\ \lambda_3 = 2+\sqrt{2}$

II可視化1 — 固有値が軸の長さを決める

固有ベクトルの基底で見ると、主断面は座標軸にそろった楕円になり、半軸の長さは $1/\sqrt{\lambda_i}$ です。

λ₁ 0.50 λ₂ 2.00 λ₃ 3.50

III可視化2 — 等高線は √c に比例して大きくなる

高さ $c$ を上げていくと、等高線 $\mathbf{x}^T A\mathbf{x}=c$ の楕円は形を保ったまま $\sqrt{c}$ に比例して拡大します。

高さ c 1.00

これは $x_3=0$ で切った、動画の $A$ の断面です。非対角成分の $-1$ のせいで、楕円は座標軸から $45\degree$ 傾きます。

IV可視化3 — 正定値性の 2 つの判定

$A(t)=\begin{bmatrix} 2 & t & 0 \\ t & 2 & t \\ 0 & t & 2 \end{bmatrix}$ では、固有値による判定と左上の小行列式による判定が、そろって正定値性を示します。

t −1.0

正定値になるのは、ちょうど $|t|<\sqrt{2}$ のときです。そこを越えると、最小の固有値と $\det_3$ が同時に負になります。

V確認クイズ

問1

動画の行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix},$ の 3 つの固有値は $\lambda_1 = 2 - \sqrt{2}$ 、 $\lambda_2 = 2$ 、 $\lambda_3 = 2 + \sqrt{2}$ です。

楕円体 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 1$ のいちばん長い半軸に対応するのは、どの固有値でしょうか？

✅ 正解です！ 最小の固有値 → いちばん長い軸（長さ = 1/√λ だから）。

❌ 惜しい！ 思い出しましょう：長さ $= 1/\sqrt{\lambda}$ なので、 $\lambda$ が大きいほど軸は短くなります。

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解答：

固有ベクトル $\mathbf{q}_i$ の方向の半軸の長さは $\text{長さ}_i = \frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}.$

これは $\lambda$ の減少関数です。固有値が小さいほど、軸は長くなります。

$\lambda = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586 \Rightarrow$ 長さ $\approx 1/\sqrt{0.586} \approx 1.31$ （最長）
$\lambda = 2 \Rightarrow$ 長さ $= 1/\sqrt{2} \approx 0.71$
$\lambda = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414 \Rightarrow$ 長さ $\approx 0.54$ （最短）

最小の固有値 $2 - \sqrt{2}$ が、いちばん長い軸を与えます。

問2

正しいか誤りか：行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ の対角成分はすべて 2 なので、楕円体 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 1$ は球である。

✅ 正解です！ 軸の長さを決めるのは対角成分ではなく固有値で、その固有値はすべて異なります。

❌ 惜しい！ 軸の長さを決めるのは、対角成分ではなく固有値です。この行列には互いに異なる固有値が 3 つあります。

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解答：誤り。

よくある落とし穴です！ $A$ の対角成分は、軸の長さを直接は教えてくれません。形を決めるのは行列の成分ではなく、固有値（長さ）と固有ベクトル（向き）です。

この $A$ の対角成分は $2, 2, 2$ ですが、固有値は 3 つの異なる数 $2 - \sqrt{2}$ 、 $2$ 、 $2 + \sqrt{2}$ です。したがって、この楕円体は球ではなく、 3 本の軸の長さがすべて異なる、いびつな楕円体です。

球になるには、3 つの固有値がすべて等しくなければなりません。対角成分が等しいからといって、そうなるとは限りません。

問3

同じ行列 $A$ に消去法を使うと、3 つのピボットは $2$ 、 $\tfrac{3}{2}$ 、 $\tfrac{4}{3}$ になります。これらのピボットの積はいくつで、何に等しいでしょうか？

✅ 正解です！ ピボットの積は行列式に等しくなります（= 固有値の積 = 4）。

❌ 惜しい！ ピボットを掛け合わせると、（トレースではなく）行列式になります。そして $\det(A) =$ 固有値の積です。

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解答：

ピボットを掛け合わせます： $2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = 4.$

LU 分解では、（行の交換がなければ） $A$ の行列式はピボットの積に等しくなります。実際、 $\det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = (2 - \sqrt{2}) \cdot 2 \cdot (2 + \sqrt{2}) = 2(4 - 2) = 4.$

ピボット、左上の小行列式、固有値という 3 つの見方がすべて一致します。トレース（対角成分の和）は $6$ で、これは固有値の積ではなく和に等しくなります。

問4

$3 \times 3$ の対称行列 $B$ の固有値は $\lambda_1 = 4$ 、 $\lambda_2 = 4$ 、 $\lambda_3 = 1$ です。等高線 $\mathbf{x}^T B \mathbf{x} = 1$ はどんな形でしょうか？

✅ 正解です！ 2 つの等しい固有値と 1 つの異なる固有値からは、ラグビーボール形の回転楕円体ができます。

❌ 惜しい！ 異なる固有値の個数を数えましょう：2 つは等しく（ $4,4$ ）、1 つは違います（ $1$ ）。このパターンで形が決まります。

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解答：

3 つの固有値はすべて正なので、 $B$ は正定値で、等高線は有界な楕円体です。

半軸の長さは次のとおりです：

$\mathbf{q}_1$ の方向： $1/\sqrt{4} = 1/2$
$\mathbf{q}_2$ の方向： $1/\sqrt{4} = 1/2$
$\mathbf{q}_3$ の方向： $1/\sqrt{1} = 1$

2 本の軸の長さが等しく、1 本だけが違います。幾何学的には、これはラグビーボール形 （回転楕円体ともいいます）です。 $\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2$ の平面での断面は円で、 $\mathbf{q}_3$ の方向に引き伸ばされています。

球になるには、3 つの固有値がすべて等しい必要があります。いびつな楕円体になるには、 3 つの固有値がすべて異なる必要があります。

正解数：0 / 4