線形代数 · 第27回 · 動画3 · インタラクティブ教材

2つの行列、同じ固有値、違う世界

I重要な公式と性質

概念 公式 / 内容
相似 ある正則行列 MM について B=M−1AMB = M^{-1} A M
スカラー行列は相似変換で変わらない どんな正則行列 MM についても M−1(λI)M=λIM^{-1}(\lambda I) M = \lambda I
固有ベクトルの方程式 (A−λI)x=0(A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}
幾何的重複度 dim⁡ker⁡(A−λI)=\dim \ker(A - \lambda I) = 固有値 λ\lambda に対する一次独立な固有ベクトルの個数
相似によって変わらない不変量 幾何的重複度は相似によって変わらない

II可視化1 — 同じ固有値、違う固有ベクトル

どちらの行列も固有値は 4,44,4 です。それなのに、4I4I ではどの方向も固有ベクトルになるのに対し、ジョルダン細胞（ジョルダンブロック）では 1 つの方向しか固有ベクトルになりません。

💡 固有ベクトルの方向の数が、そのまま幾何的重複度です。4I4I では 22、ジョルダン細胞では 11 です。

III可視化2 — M で挟んでも 4I は動かない

どんな正則行列 MM で挟んでも 4I4I はそのままですが、ジョルダン細胞は見た目の違う双子へと移っていきます。

💡 M−1BMM^{-1}BM 全体の集合、つまり右の図がとりうるすべての双子は、ちょうど家族2、欠陥のある相似類になります。

IV可視化3 — 家族を分ける不変量

幾何的重複度、つまり一次独立な固有ベクトルの方向の数が 22 になるのは 4I4I だけで、ほかの双子はすべて 11 です。

V確認クイズ

問1

次の行列を考えます。 A=[4104].A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}.

固有値 λ=4\lambda = 4 の幾何的重複度（つまり、一次独立な固有ベクトルの個数）はいくつでしょうか。

✅ 正解です！ ジョルダン細胞の固有ベクトルの方向は、(1,0)(1, 0) のちょうど 1 つだけです。

❌ 惜しい！ それは代数的重複度（2）かもしれません。幾何的重複度は一次独立な固有ベクトルの個数で、ジョルダン細胞には 1 本しかありません。

❌ 惜しい！ (A−4I)x=0(A - 4I)\mathbf{x} = \mathbf{0} を解いて、解空間の次元を数えましょう。

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解答：

(A−4I)x=0(A - 4I)\mathbf{x} = \mathbf{0} を解きます。 A−4I=[0100].A - 4I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.

すると 2 番目の座標は x2=0x_2 = 0 に決まり、x1x_1 は自由です。核は (1,0)(1, 0) だけで張られ、固有空間は1次元です。

したがって、幾何的重複度は 1\boxed{1} です。（固有多項式が (λ−4)2(\lambda - 4)^2 なので、代数的重複度は 2 です。この食い違いこそが、行列を欠陥行列にしているのです。）

問2

正しいか誤りか： 2つの行列 AA と BB のトレース、行列式、固有値がすべて同じなら、2つは必ず相似である。

✅ 正解です！ 固有値が重複すると、固有値だけでは行列を相似で分類できません。幾何的重複度も必要です。

❌ 惜しい！ 4I4I とジョルダン細胞を思い出しましょう。トレースも行列式も固有値も同じですが、相似ではありません。

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解答：

動画の中心となる反例が示すとおり、これは誤りです。

A=4I=[4004]A = 4I = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} と B=[4104]B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} をとります。

  • どちらもトレース =8= 8
  • どちらも行列式 =16= 16
  • どちらも固有値は 4,44, 4

しかし、2つは相似ではありません。

  • AA には一次独立な固有ベクトルが 2 本ある（幾何的重複度 2）
  • BB には一次独立な固有ベクトルが 1 本しかない（幾何的重複度 1）

幾何的重複度は相似によって変わらない不変量なので、A≁BA \not\sim B です。

問3

次の行列を考えます。 C=[51−13].C = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}.

固有値が 4,44, 4 である 2×22 \times 2 行列全体の世界の中で、CC はどの家族に属するでしょうか。

✅ 正解です！ C−4IC - 4I の階数は 1 なので、幾何的重複度は 1。家族2です。

❌ 惜しい！ 確かめましょう。tr⁡(C)=8\operatorname{tr}(C) = 8、det⁡(C)=16\det(C) = 16 なので、固有値は 4,44, 4 です。次に C−4IC - 4I の階数を計算して、幾何的重複度を求めましょう。

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解答：

ステップ1 — 固有値を確かめる：

  • tr⁡(C)=5+3=8\operatorname{tr}(C) = 5 + 3 = 8
  • det⁡(C)=(5)(3)−(1)(−1)=15+1=16\det(C) = (5)(3) - (1)(-1) = 15 + 1 = 16
  • 固有多項式：λ2−8λ+16=(λ−4)2\lambda^2 - 8\lambda + 16 = (\lambda - 4)^2

よって固有値は 4,44, 4 です。✓

ステップ2 — 幾何的重複度を計算する： C−4I=[11−1−1].C - 4I = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}.

この行列の階数は 1 です（2行目は1行目の −1-1 倍）。したがって核は1次元で、幾何的重複度 = 1 です。

ステップ3 — 家族を決める： C≠4IC \neq 4I なので（実際、CC の固有ベクトルは 1 本だけです）、CC は家族2に属します。つまり、ジョルダン細胞 [4104]\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} と相似です。

問4

4I4I がただ 1 つだけで相似な家族をなす（メンバーがただ1つの家族になる）根本的な理由は、次のうちどれでしょうか。

✅ 正解です！ スカラーがどんな行列とも可換であることこそが、相似変換のもとで 4I4I をその場に留めているのです。

❌ 惜しい！ トレース、行列式、重複した固有値は、どれもジョルダン細胞と共通です。ですから、4I4I を孤立させているのはそれらではありえません。相似変換 M−1(4I)MM^{-1}(4I)M がなぜ簡単になってしまうのかを考えましょう。

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解答：

鍵となる計算は次のとおりです。 M−1(4I)M=4⋅M−1IM=4⋅M−1M=4I.M^{-1}(4I)M = 4 \cdot M^{-1} I M = 4 \cdot M^{-1} M = 4I.

スカラーはどんな行列とも可換なので、44 は M−1M^{-1} の前に出られます。単位行列は消え、M−1M=IM^{-1}M = I となって、どんな MM を選んでも 4I4I が残ります。だから 4I4I はひとりぼっちで取り残されるのです。

ほかの選択肢は見当違いです。

  • ❌ 行列式だけでは家族は決まりません（ジョルダン細胞の行列式も 16 です）。
  • ❌ 固有値が重複しているからといって、メンバーがただ1つの家族になるわけではありません。ジョルダン細胞も固有値が重複していますが、とても大きな家族に属しています。
  • ❌ トレース 8 の相似類は無限にあります。

正解数：0 / 4