線形代数 · 第27回 · 動画4 · インタラクティブ教材

対角化できないとき：すべての正方行列を表すジョルダン標準形

I重要な公式と性質

概念	内容
対角化	$S^{-1} A S = \Lambda$ — 一次独立な固有ベクトルが $n$ 本必要
ジョルダン細胞（ジョルダンブロック） $J_k(\lambda)$	対角線に $\lambda$ 、そのすぐ上の対角線に $1$ が並ぶ $k\times k$ 行列
細胞の個数と固有ベクトルの本数	ジョルダン細胞ひとつが生む固有ベクトルは、ちょうど 1 本
ジョルダン標準形	どんな正方行列 $A$ も $A = M J M^{-1}$ を満たす。 $J$ はジョルダン細胞を並べたブロック対角行列
相似によって変わらない不変量	2つの行列が相似になるのは、ジョルダン細胞のサイズが（並べる順番を除いて）一致するとき、かつそのときに限る

II可視化1 — ジョルダン細胞の解剖

細胞のサイズ $k$ がどれほど大きくても、ジョルダン細胞の固有ベクトルがちょうど 1 本なのはなぜでしょうか。

固有値 λ 2 細胞のサイズ k 3

III可視化2 — 双子の行列のパズル

2つの冪零な $4\times 4$ 行列は、不変量が 1 つを除いてすべて一致します。では、なぜ相似ではないのでしょうか。

IV可視化3 — ジョルダン標準形の数値的な不安定性

対角成分を $\varepsilon$ だけずらすと固有値が分かれ、ジョルダン細胞の構造は不連続に跳びます。

摂動 ε 0.00

💡 この跳びは不連続なので、数値線形代数ではSVD（特異値分解）を使います。ジョルダン標準形は厳密な計算でしか扱えないのです。

V確認クイズ

問1

対角線に固有値 $\lambda$ が 5 回くり返され、そのすぐ上の対角線に $1$ が並ぶ、 $5 \times 5$ のジョルダン細胞 $J_5(\lambda)$ を 1 つ考えます。

この細胞には一次独立な固有ベクトルが何本あるでしょうか。

✅ 正解です！ どんなに大きなジョルダン細胞も、生む一次独立な固有ベクトルはちょうど 1 本です。

❌ 惜しい！ 対角線の $\lambda$ から代数的重複度は 5 になりますが、すぐ上の対角線の $1$ のせいでほとんどの座標が 0 に決まり、自由に動ける方向は 1 つだけです。

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解答：

$J_5(\lambda) - \lambda I$ を計算します。対角線は 0 になり、0 でない成分がすぐ上の対角線の $1$ だけという行列が残ります。

$v = (v_1, v_2, v_3, v_4, v_5)^T$ として $(J - \lambda I)v = 0$ を解くと、次が得られます。

$v_2 = 0, \quad v_3 = 0, \quad v_4 = 0, \quad v_5 = 0$

自由なのは $v_1$ だけです。したがって零空間は1次元で、 $e_1 = (1, 0, 0, 0, 0)^T$ で張られます。

重要な事実：どのジョルダン細胞も、サイズにかかわらず、生む固有ベクトルはちょうど 1 本です。

問2

正しいか誤りか： 2つの $n \times n$ 行列の固有値（代数的重複度も含めて）と一次独立な固有ベクトルの本数が同じなら、2つは必ず相似である。

✅ 正解です！ 足りない不変量は細胞のサイズです。動画の双子の行列は、固有値も固有ベクトルの本数も一致するのに、相似ではない2つの行列の例です。

❌ 惜しい！ 双子の行列を思い出しましょう。固有値も固有ベクトルの本数も同じですが、細胞のサイズの組が $\{2,2\}$ と $\{3,1\}$ で違うので、相似ではありません。

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解答： 誤りです。

動画の「双子の行列」がそのまま反例になります。どちらも $4 \times 4$ で、どちらも固有値 $0$ を重複度 4 でもち、どちらも一次独立な固有ベクトルをちょうど 2 本もちます。ところが、

行列1の細胞のサイズの組は $\{2, 2\}$ （2×2 の細胞 2 つ）
行列2の細胞のサイズの組は $\{3, 1\}$ （3×3 の細胞 1 つ + 1×1 の細胞 1 つ）

2つの行列が相似になるのは、ジョルダン細胞のサイズが（並べる順番を除いて）一致するとき、かつそのときに限ります。細胞のサイズの組こそが完全な不変量で、固有値と固有ベクトルの本数だけでは足りません。

問3

$6 \times 6$ 行列 $A$ の固有値はすべて $\lambda = 7$ で、一次独立な固有ベクトルはちょうど 3 本です。

$A$ の細胞のサイズの組としてありうるものは、次のうちどれでしょうか。

✅ 正解です！ 固有ベクトルが 3 本なら細胞は 3 つで、 $4 + 1 + 1 = 6$ は行列のサイズと一致します。

❌ 惜しい！ 思い出しましょう。（一次独立な固有ベクトルの本数）=（ジョルダン細胞の個数）です。固有ベクトルが 3 本なら、サイズの合計が 6 になる細胞がちょうど 3 つ必要です。

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解答：

ジョルダン細胞の個数は、一次独立な固有ベクトルの本数に等しくなります。 $A$ には固有ベクトルが 3 本あるので、細胞はちょうど 3 つです。細胞のサイズの合計は $6$ （行列のサイズ）でなければなりません。

選択肢を1つずつ確かめます。

$\{3, 3\}$ ：細胞 2 つ、合計 = 6。固有ベクトルの本数 = 2。❌
$\{4, 1, 1\}$ ：細胞 3 つ、合計 = 6。固有ベクトルの本数 = 3。正解です！
$\{5, 1\}$ ：細胞 2 つ、合計 = 6。固有ベクトルの本数 = 2。❌
$\{6\}$ ：細胞 1 つ、合計 = 6。固有ベクトルの本数 = 1。❌

合計 6 になる 3 つの細胞をもつのは $\{4, 1, 1\}$ だけで、固有ベクトルの本数と行列のサイズの両方に合っています。

問4

おなじみの対角化 $S^{-1} A S = \Lambda$ は、ジョルダン標準形のどの特別な場合にあたるでしょうか。

✅ 正解です！ 1×1 のジョルダン細胞は対角線上の固有値ひとつにすぎないので、すべての細胞が 1×1 なら $J$ は対角行列 $\Lambda$ になります。

❌ 惜しい！ $1 \times 1$ のジョルダン細胞がどんな形かを考えましょう。すぐ上の対角線はなく、固有値がひとつあるだけです。 $J$ のすべての細胞がそれほど小さかったらどうなるでしょうか。

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解答：

$1 \times 1$ のジョルダン細胞は、対角線上の固有値ひとつにすぎず、すぐ上の対角線の $1$ はありません。 $J$ のすべての細胞が $1 \times 1$ なら、 $J$ は対角線に固有値が並び、ほかはすべて 0 です。これはまさに対角行列です。

$J = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$

これが起こるのは、細胞の個数が $n$ に等しいとき、つまり一次独立な固有ベクトルの本数が $n$ に等しいときで、ちょうどおなじみの対角化可能の条件です。

対角化は、すべての細胞のサイズが 1×1 であるジョルダン標準形の特別な場合です。

正解数：0 / 4