線形代数 · 第29回 · 動画2 · インタラクティブ教材

基底のトリック：数本のベクトルが線形変換のすべてを決める

I重要な公式

公式	名称	説明
$v = c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_n v_n$	基底による展開	どのベクトルも、基底ベクトルの一次結合としてただ一通りに書ける
$T(v) = c_1 T(v_1) + c_2 T(v_2) + \dots + c_n T(v_n)$	基底のトリック	線形性によって、展開式がそのまま $T$ を通り抜ける
$T(au + bv) = a\,T(u) + b\,T(v)$	線形性	加法性 + 斉次性
$M = [\,T(v_1)\;\;T(v_2)\;\;\dots\;\;T(v_n)\,]$	$T$ の行列	列は基底ベクトルの像

II可視化1 — 基底の成分に分けたベクトル

ベクトルは $c_1 e_1 + c_2 e_2$ です。水平方向と垂直方向の基底の部品を、矢印の先端と根元をつないで足し合わせたものです。

c₁ 3 c₂ 2

III可視化2 — 基底のトリックを実際に使う

90° の回転 $T$ では、出力 $T(v)=c_1T(e_1)+c_2T(e_2)$ が、回転した基底に同じ係数を掛けることで組み立て直されます。

c₁ 3 c₂ 2

入力空間

出力空間 — T を作用させる

IV可視化3 — 同じ矢印、異なる座標

同じ矢印を二つの辞書で書きます。標準基底 $\{e_1,e_2\}$ と、斜めの基底 $\{v_1=(1,1),\,v_2=(1,-1)\}$ です。

x 3 y 2

標準基底 {e₁, e₂}

基底 {v₁, v₂}

V確認クイズ

問1

$\mathbb{R}^2$ 上の線形変換 $T$ が $T(e_1) = (2, 3)$ 、 $T(e_2) = (-1, 4)$ を満たしています。

基底のトリックを使うと、 $v = (5, 2)$ に対する $T(v)$ は何ですか。

✅ 正解です！ $v$ の係数と基底ベクトルの像を組み合わせて使えました。

❌ 惜しい！ $T(v) = c_1 T(e_1) + c_2 T(e_2)$ を思い出しましょう。ここで $(c_1, c_2)$ は $v$ の座標です。

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解答：

$v$ を標準基底で分解します。 $v = (5, 2) = 5\,e_1 + 2\,e_2$ です。

基底のトリックを当てはめます。 $T(v) = 5\,T(e_1) + 2\,T(e_2) = 5(2, 3) + 2(-1, 4) = (10, 15) + (-2, 8) = (8, 23).$

問2

線形変換 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ について、 $T$ の標準行列が

$M = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$

であるとします。 $M$ の列は何を表していますか。

✅ 正解です！ 行列とは、基底ベクトルの送り先の記録そのものです。

❌ 惜しい！ 標語を思い出しましょう。「行列 = 基底の行き先」です。

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解答：

行列とは、基底ベクトルがどこへ移るかを記録した表にすぎません。 $M$ の1列目は $T(e_1)$ 、2列目は $T(e_2)$ です。

この行列では、

$T(e_1) = (0, 1)$ — 1列目
$T(e_2) = (-1, 0)$ — 2列目

行列の中身はこれで全部です。基底の行き先がわかれば、ほかのどのベクトルについても、基底のトリックで $T(v)$ が決まります。

問3

正しいか誤りか： 座標 $(3, 2)$ はベクトルに固有の性質であり、どの基底を使ってもそのベクトルを表す。

✅ 正解です！ 座標は、選んだ基底という通貨で書かれた請求書です。

❌ 惜しい！ 可視化3を思い出しましょう。同じ矢印に、二通りの異なる座標表示がありました。

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解答：

誤りです。座標はベクトルに固有のものではありません。選んだ基底によって決まります。

ベクトルを $(3, 2)$ と書くときは、黙って標準基底を前提にしており、 $3\,e_1 + 2\,e_2$ という意味です。 $v_1 = (1,1)$ 、 $v_2 = (1,-1)$ のような別の基底に切り替えると、同じ矢印に別の座標、つまり $(2.5, 0.5)$ が割り当てられます。

矢印そのものは幾何学的な対象で、空間の中の長さと向きです。数のほうは、選んだ言葉で書かれた帳簿にすぎません。

問4

$\mathbb{R}^2$ 上の線形変換 $T$ が、 $T(e_1) = (1, 0)$ 、 $T(e_2) = (0, 0)$ と送ります。

$T$ を幾何学的に最もよく表しているのはどれですか。また、 $v = (4, 7)$ に対する $T(v)$ は何ですか。

✅ 正解です！ $T(e_1)$ と $T(e_2)$ がわかれば、すべてがわかります。2本目の基底ベクトルがゼロに送られるので、 $y$ 成分は消えてしまいます。

❌ 惜しい！ 基底のトリックを使いましょう。 $T(v) = 4\,T(e_1) + 7\,T(e_2)$ です。 $T(e_2)$ が零ベクトルだと、どうなるでしょうか。

解答を見る

解答：

基底のトリックを当てはめます。 $v = (4, 7) = 4\,e_1 + 7\,e_2$ に対して、 $T(v) = 4\,T(e_1) + 7\,T(e_2) = 4(1, 0) + 7(0, 0) = (4, 0).$

$y$ 成分は消え、 $x$ 成分はそのまま残ります。これはまさに x 軸への射影です。対応する行列は

$M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},$

で、その列は $T(e_1) = (1, 0)$ と $T(e_2) = (0, 0)$ です。

正解数：0 / 4