線形代数 · 第3回 · 動画1 · インタラクティブ教材

行列の積を見る五つの方法

I重要な公式

方法	公式	重要な洞察
成分の方法	$C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}$	$A$ の $i$ 行目と $B$ の $j$ 列目の内積
列の方法	$\text{col}_j(C) = A \cdot \text{col}_j(B)$	$C$ の各列は、 $A$ の列の一次結合
行の方法	$\text{row}_i(C) = \text{row}_i(A) \cdot B$	$C$ の各行は、 $B$ の行の一次結合
列 × 行	$AB = \sum_{k=1}^{n} \text{col}_k(A)\;\text{row}_k(B)$	$n$ 個の階数一の外積の和

II可視化1 — 成分の方法

各成分 $C_{ij}$ はただ1つの数で、 $A$ の $i$ 行目と $B$ の $j$ 列目の内積です。

III可視化2 — 列の方法

$C$ の各列は、 $A$ の列の一次結合で、その重みは $B$ の1つの列です。

B の列

IV可視化3 — 行の方法

対称的に、 $C$ の各行は、 $B$ の行の一次結合で、その重みは $A$ の1つの行です。

A の行

V可視化4 — 列 × 行

$AB$ は $n$ 個の階数一の外積の和に等しくなります。共通の次元の添字1つにつき、1つの外積です。

含める項の数 1

💡 各項は階数一です。どの列も1つのベクトルの定数倍で、どの行も別の1つのベクトルの定数倍です。この分解は、行列の階数や低ランク近似の土台になっています。

VI確認クイズ

問1

$2 \times 3$ 行列 $D$ （1行目 $= [3,\; -1,\; 2]$ ）と、 $3 \times 2$ 行列 $E$ （2列目 $= [4,\; 0,\; -1]^T$ ）を考えます。

「成分の方法」で $(DE)_{1,2}$ を計算してください。

✅ 正解です！ 内積は $12 + 0 - 2 = 10$ になります。

❌ 惜しい！ 対応する成分どうしをかけ、符号に注意しましょう。

解答を見る

解答：

$(DE)_{1,2}$ は、 $D$ の1行目と $E$ の2列目の内積です：

$(DE)_{1,2} = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = 12 + 0 - 2 = 10$

答えは 10 です。

問2

$C = AB$ を「列の方法」で考えるとき、 $C$ のどの列も、どのベクトルの組の一次結合になっていますか。

✅ 正解です！ $C$ の各列は、 $A$ の列空間の中にあります。

❌ 惜しい！ $A \cdot \text{col}_j(B)$ が何を表すか考えてみましょう。 $A$ のどのベクトルが定数倍され、たし合わされますか。

解答を見る

解答：

$C$ の $j$ 列目は $A \cdot \text{col}_j(B)$ に等しく、展開すると次のようになります：

$\text{col}_j(C) = b_{1j}\,\text{col}_1(A) + b_{2j}\,\text{col}_2(A) + \cdots + b_{nj}\,\text{col}_n(A)$

したがって、 $C$ のどの列も $A$ の列の一次結合で、その重みは $B$ の $j$ 列目の成分です。

だから $\text{列空間}(C) \subseteq \text{列空間}(A)$ となるのです。

問3

ゼロでない列ベクトル $\mathbf{u}$ （ $m \times 1$ ）とゼロでない行ベクトル $\mathbf{v}^T$ （ $1 \times p$ ）の外積は、 $m \times p$ 行列になります。この行列の階数はいくつですか。

✅ 正解です！ ゼロでない2つのベクトルの外積の階数は、常に1です。

❌ 惜しい！ 外積でできた行列には、一次独立な列がいくつありますか。

解答を見る

解答：

外積 $\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ からできる行列では：

どの列も $\mathbf{u}$ のスカラー倍
どの行も $\mathbf{v}^T$ のスカラー倍

すべての列が同じ方向を向いているので、列空間は1次元です。したがって、階数は 1 です。

こうした階数一の行列は、ゼロでない行列の中で最も単純なものです。そして、どんな行列の積 $AB$ も、それらの和に分解できます。

問4

正しいか誤りか： $C = AB$ で、 $A$ が $m \times n$ 、 $B$ が $n \times p$ のとき、積 $C$ は常にちょうど $n$ 個の階数一の行列の和として書ける（共通の次元の添字1つにつき1個）。

✅ 正解です！ 列 × 行の分解からは、常にちょうど $n$ 個の階数一の項が出てきます。

❌ 惜しい！ 列 × 行の分解を思い出しましょう。列と行の組はいくつありますか。

解答を見る

解答：

正しい。列 × 行の分解により：

$AB = \sum_{k=1}^{n} \text{col}_k(A)\;\text{row}_k(B)$

各項 $\text{col}_k(A)\;\text{row}_k(B)$ は外積で、階数一の（または零の）行列です。そうした項はちょうど $n$ 個あり、 $n$ は共通の内側の次元です。

注：個々の項が零行列になることもあります（ $A$ の列や $B$ の行が零の場合）が、それでも分解の項は $n$ 個です。 $C$ の実際の階数は $n$ より小さいこともあります。

正解数：0 / 4