線形代数 · 第3回 · 動画2 · インタラクティブ教材

逆行列とは何か、そして逆行列が存在しないとき

I重要な公式

公式	名称	使う場面
$A^{-1}A = AA^{-1} = I$	逆行列の定義	「逆行列」の意味を定める
$\det\!\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$	2×2 の行列式	特異かどうかをすばやく判定する
$\det(A) = 0 \iff A$ は特異	特異性の判定	行列式がゼロなら、逆行列は存在しない
$Ax = 0$ が自明でない解をもつ $\iff A$ は特異	零空間による判定	零空間にゼロでない $x$ があれば、逆行列がないことがわかる

II可視化1 — 行列は平面をゆがめる

$A$ をかけると、単位正方形は面積 $|\det A|$ の平行四辺形にゆがみます。面積がゼロなら、逆行列はありません。

a 2 b 1 c 1 d 2

可逆かどうかを決めるのは、 $\det A$ がゼロかどうかだけです。符号は、変換が平面の向きを反転させるかどうかを表しているにすぎません。

III可視化2 — 列が平面を張るとき

$A$ の列が平面全体を張るのは、列どうしが異なる方向を向いているときだけです。

2列目の x 4 2列目の y 1

IV可視化3 — 直線全体が1点に移る

特異行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ では、無数の入力がただ1つの出力 $(1, 2)$ を共有します。

零空間方向の係数 k 0

もし $A^{-1}$ が存在するなら、 $A^{-1}(1,2)$ はベクトルを1つに決めて返さなければなりません。しかし $(1,2)$ になる入力は無数にあるので、逆向きの写像は存在しえません。

V確認クイズ

問1

行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ を考えます。

$\det(A)$ の値はいくつで、 $A$ は可逆ですか。

✅ 正解です！ 行列式がゼロなので、 $A$ は逆行列をもちません。

❌ 惜しい！ $ad - bc$ を注意して計算しましょう： $(3)(2) - (6)(1) = ?$

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解答：

$A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ の行列式は次のとおりです：

$\det(A) = ad - bc = (3)(2) - (6)(1) = 6 - 6 = 0$

$\det(A) = 0$ なので、この行列は特異（可逆でない）です。

2列目 $= (6, 2) = 2 \times (3, 1) = 2 \times$ 1列目となっていることに注目しましょう。列が一次従属であることが確かめられます。

問2

正しいか誤りか： $A$ が正方行列で、 $Ax = 0$ が自明な解 $x = 0$ しかもたないなら、 $A$ は可逆である。

✅ 正解です！ 零空間が零ベクトルだけなら、列は一次独立で、 $A$ は可逆です。

❌ 惜しい！ 動画を思い出しましょう：ゼロでない零空間のベクトルがあるかどうかが、特異かどうかを分ける「正確な境界線」でした。

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解答：正しい

これは線形代数の基本的な同値関係です。正方行列 $A$ について：

$Ax = 0 \text{ の解は } x = 0 \text{ だけ} \;\;\iff\;\; A \text{ の列は一次独立} \;\;\iff\;\; A \text{ は可逆}$

動画で証明したのは一方の向きです：自明でない解が存在するなら（特異行列での $x = (3, -1)$ のように）、 $A$ は可逆ではありえません。これは背理法で証明しました。その対偶は「 $A$ が可逆なら、解は自明な解だけ」です。

この問題が問うているのはその逆で、正方行列ではこれも成り立ちます： $Ax = 0$ の解が $x = 0$ だけなら $n$ 本の列は一次独立なので、消去法で $n$ 個のピボットが得られ、 $A$ は可逆です。

問3

動画の背理法では、 $A^{-1}$ が $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$ に対して存在すると仮定しました。 $Ax = 0$ （ただし $x = (3, -1) \neq 0$ ）であることはわかっています。

どんな矛盾にたどり着きますか。

✅ 正解です！ 仮定から $x = 0$ が導かれ、 $x = (3, -1) \neq 0$ と矛盾します。

❌ 惜しい！ 式変形を追ってみましょう： $Ax = 0$ に左から $A^{-1}$ をかけ、一歩ずつ簡単にしていきます。

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解答：

証明は次の手順で進みます：

$A^{-1}$ が存在すると仮定します。
既知： $Ax = 0$ （ただし $x = (3, -1) \neq 0$ ）。
両辺に左から $A^{-1}$ をかけます：

$A^{-1}(Ax) = A^{-1} \cdot 0$

結合法則より： $(A^{-1}A)x = 0$
逆行列の定義より： $Ix = 0$
したがって： $x = 0$

ところが、選んだのは $x = (3, -1) \neq 0$ でした。これは矛盾です！ ⚡

したがって仮定が誤りで、 $A^{-1}$ は存在しません。

問4

次の行列のうち、可逆なものはどれですか。

✅ 正解です！ $B$ の行列式は $-2 \neq 0$ なので、可逆なのはこの行列だけです。

❌ 惜しい！ 各行列について $ad - bc$ を計算しましょう。ゼロでない値になるのはどれですか。

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解答：

それぞれの行列式 $ad - bc$ を計算します：

行列	行列式	可逆か
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$	$(2)(6) - (4)(3) = 12 - 12 = 0$	❌ 特異
$B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$	$(1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$	✅ 可逆
$C = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$	$(5)(2) - (10)(1) = 10 - 10 = 0$	❌ 特異
$D = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$	$(0)(2) - (0)(1) = 0$	❌ 特異

行列式がゼロでない（ $-2$ ）のは $B$ だけなので、可逆な行列はこれだけです。注：行列式の符号は関係ありません。大事なのは、ゼロに等しいかどうかだけです。

正解数：0 / 4