線形代数 · 第31回 · 動画1 · インタラクティブ教材

本当の逆行列をもつのはなぜ正方行列だけなのか：四つの部分空間で読み解く

I重要な公式

階数 $r$ の $m \times n$ 行列 $A$ について：

条件	行列の形	逆行列の種類	実際に可逆な部分
$r = m = n$	正方行列、フルランク	両側逆行列 $A^{-1}$	$A$ そのもの
$r = n < m$	縦長、列フルランク	左逆行列 $(A^TA)^{-1}A^T$	$A^TA$ ( $n\times n$ )
$r = m < n$	横長、行フルランク	右逆行列 $A^T(AA^T)^{-1}$	$AA^T$ ( $m\times m$ )
$r < m,\,n$	一般の場合	擬似逆行列 $A^{+}$	SVD から

4 つの部分空間の次元：

行空間 $= r$ 、零空間 $= n - r$ 、列空間 $= r$ 、左零空間 $= m - r$

II可視化1 — 階数と 4 つの部分空間

階数 $r$ が $\mathbb{R}^n$ と $\mathbb{R}^m$ を 4 つの部分空間にどう分けるか、そしてその結果どの逆行列が許されるかを見ます。

行数 m 3 列数 n 2 階数 r 2

💡 本当の両側逆行列には、赤い領域（ $n-r$ と $m-r$ ）が両方とも消えることが必要です。それが起こるのは $r = m = n$ のときだけです。

III可視化2 — 写像がつぶすもの、取りこぼすもの

$A$ は行空間を列空間へ一対一に写し、零空間は $0$ につぶします。

行数 m 3 列数 n 2 階数 r 2

IV可視化3 — どちらのグラム行列が可逆か？

縦長の $A$ では $A^TA$ が可逆で、 $AA^T$ は特異です。小さいほうのグラム行列が勝ちます。

行列 A

💡 可逆になるグラム行列は、いつも小さいほうの $r \times r$ 行列です。それが片側逆行列をつくるのであって、A そのものが逆になるのではありません。

V確認クイズ

問1

行列 $A$ は $4 \times 4$ で、階数は $r = 4$ です。正しいものはどれですか。

✅ 正解です！ 正方行列（ $m=n$ ）でフルランク（ $r=m=n$ ）であることが、まさに本当の逆行列をもつ条件です。

❌ 惜しい！ $r = m = n$ のときは 2 つの零空間がどちらも自明なので、完全な両側逆行列が存在します。

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解答：

ここでは $m = n = 4$ 、 $r = 4$ なので $r = m = n$ です。これは場合1で、行列は正方行列かつフルランクです。零空間（ $\dim = n - r = 0$ ）も左零空間（ $\dim = m - r = 0$ ）も $\{0\}$ に縮みます。

つぶされるものも取りこぼされるものもないので、この写像は完全な全単射であり、本物の両側逆行列 $A^{-1}$ が存在します。

問2

$A$ を列フルランク $r = 3$ の縦長の $5 \times 3$ 行列とします。左逆行列をつくるのに使う、小さくて可逆な行列はどれですか。

✅ 正解です！ 縦長の行列では、 $A^TA$ が小さな $n\times n$ の可逆行列です。

❌ 惜しい！ 縦長の行列で可逆になるのは、小さいほうの $A^TA$ （ $n\times n$ ）であって、 $AA^T$ ではありません。

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解答：

$r = n$ の縦長の行列は、零空間が自明（単射）ですが、左零空間は非自明です。そのため存在するのは左逆行列だけです： $A^{+}_{\text{左}} = (A^TA)^{-1}A^T, \qquad (A^TA)^{-1}A^T \cdot A = I.$

実際に可逆なのは $A^TA$ で、これは $n \times n = 3 \times 3$ 行列です。一方 $AA^T$ は $5 \times 5$ ですが階数は $3$ しかないので、特異行列です。可逆になるグラム行列は、いつも小さいほうの $r \times r$ 行列です。

問3

正しいか誤りか：すべての正方行列は両側逆行列をもつ。

✅ 正解です！ 正方行列にはフルランク（ $r = m = n$ ）であることも必要です。行が従属していると、非自明な零空間が残ります。

❌ 惜しい！ 行が従属している正方行列には零空間があるので、逆行列はありません。

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解答：

答えは誤りです。正方行列（ $m = n$ ）であることは必要条件ですが、十分条件ではありません。行列はフルランク、つまり $r = m = n$ である必要もあります。

行が従属している正方行列では $r < n$ なので、零空間は非自明（ $\dim = n - r > 0$ ）です。ある入力は 0 につぶされて情報が失われ、どんな逆行列もそれを取り戻せません。正方行列であるだけでは足りず、 $r = m = n$ が必要です。

問4

行列 $A$ の階数 $r$ は、 $m$ よりも $n$ よりも真に小さいとします。 $A$ の逆行列について正しいものはどれですか。

✅ 正解です！ 2 つの零空間がどちらも非自明なので、残るのは SVD にもとづく擬似逆行列 $A^+$ だけです。

❌ 惜しい！ $r < m,n$ なら 2 つの零空間はどちらも非自明なので、きれいな逆行列はなく、あるのは $A^+$ だけです。

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解答：

$r < m$ かつ $r < n$ のとき、2 つの零空間はどちらも非自明です：

零空間の次元は $n - r > 0$ ：入力の側で情報が壊されます。
左零空間の次元は $m - r > 0$ ：決して届かない出力があります。

どの片側逆行列も、この 2 つの問題を同時には解決できません。使えるいちばんよい代わりは、特異値分解（SVD）からつくる擬似逆行列 $A^{+}$ です。覚えておきましょう：片側逆行列は本当の逆行列ではありません。片側でしか働かず、 $A$ そのものではなく、もっと小さな可逆行列に頼っています。

正解数：0 / 4