線形代数 · 第31回 · 動画2 · インタラクティブ教材

左逆行列と右逆行列：逆順に掛けると射影行列が現れる

I重要な公式

公式	名称	成り立つ条件
$(A^T A)^{-1} A^T \, A = I$	左逆行列	縦長の行列、列フルランク（ $m > n$ , $r = n$ ）
$A \, A^T (A A^T)^{-1} = I$	右逆行列	横長の行列、行フルランク（ $n > m$ , $r = m$ ）
$P = A (A^T A)^{-1} A^T$	射影行列	同じ部品を逆の順番で； $P^2 = P$ , $P^T = P$
$A^T A \, \hat{x} = A^T b$	正規方程式	最小二乗： $A\hat{x} = Pb$

II可視化1 — 逆行列はどちら側にあるか？

長方行列は片側からしか逆にできません。どちら側かは、フルランクのままでいるグラム行列が決めます。

行列の形

III可視化2 — 列空間への射影

$P$ は $b$ を、列空間の最も近い点へ送ります。垂直にまっすぐ下ろすのです。

b_x 2 b_y 3

💡 $P$ はもともと列空間にあるベクトルをすべてそのままにするので、2 回射影しても何も変わりません： $P^2 = P$ 。

IV可視化3 — 同じ部品、違う順番

同じ 3 つの行列が、一方の順番では単位行列を、もう一方の順番では射影をつくります。

V確認クイズ

問1

$A$ を $m > n$ で列フルランク（ $r = n$ ）の、縦長の $m \times n$ 行列とします。必ず存在する片側逆行列はどれですか。

✅ 正解です！ $A^T A$ が可逆なので、左逆行列が得られます。

❌ 惜しい！ 縦長の行列で可逆になるのは $A^T A$ であって、 $A A^T$ ではありません。

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解答：

列フルランクの縦長の行列では列が一次独立なので、グラム行列 $A^T A$ （サイズ $n \times n$ ）は可逆です。これから左逆行列が得られます：

$(A^T A)^{-1} A^T \cdot A = (A^T A)^{-1}(A^T A) = I_n.$

右逆行列をつくるには $A A^T$ （ $m \times m$ ）が可逆でなければなりませんが、その階数は $n < m$ しかないので特異です。したがって存在するのは左逆行列だけです。

問2

ある学生がこう主張しました：「縦長の行列 $A$ には左逆行列があるのだから、右逆行列もあるはずだ。 $A A^T (A A^T)^{-1}$ を掛ければよい。」

正しいか誤りか：この推論は正しい。

✅ 正解です！ $A A^T$ の階数は $n < m$ なので特異であり、右逆行列はありません。

❌ 惜しい！ $A A^T$ は $m \times m$ ですが階数は $n < m$ なので、逆行列をもちません。

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解答：

この主張は誤りです。縦長の場合、 $A A^T$ は $m \times m$ ですが階数は $n < m$ しかないので、 $A A^T$ は特異です。その逆行列 $(A A^T)^{-1}$ は存在しません。

もっと深い理由はこうです：長方行列は、両側から逆にすることは決してできません。 $A$ か $A^T$ のどちらかが、必ず非自明な零空間をもつからです。必ずどこかで何かがつぶれていて、つぶれたものを両方向から元に戻すことはできません。

問3

射影行列 $P = A(A^T A)^{-1} A^T$ について、いつも成り立つ性質の組はどれですか。

✅ 正解です！ 射影行列は対称で、冪等（ $P^2 = P$ ）です。

❌ 惜しい！ $P$ は対称ですが、2 回射影すると $P^2 = P$ であって、 $I$ にはなりません。

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解答：

射影行列は、それを特徴づける 2 つの性質をみたします：

対称： $P^T = P$ 。
冪等： $P^2 = P$ （2 回射影しても 1 回射影したのと同じです。いったん $b$ が平面上に来れば、そこから動きません）。

この行列は単位行列ではなく（ $P \neq I$ ）、可逆でもありません（列空間に垂直な成分をつぶしてしまうからです）。例の行列では $P = \begin{bmatrix} 2/3 & -1/3 & 1/3 \\ -1/3 & 2/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 2/3 \end{bmatrix}$ となり、確かに $P^T = P$ と $P^2 = P$ をみたします。

問4

優決定な連立方程式 $Ax = b$ に厳密な解はありません。そこで正規方程式 $A^T A \,\hat{x} = A^T b$ を解いて、最小二乗解 $\hat{x}$ を求めます。 $A\hat{x}$ は何に等しいですか。

✅ 正解です！ 最小二乗で得られるのは $A\hat{x} = Pb$ 、つまり $b$ の射影です。

❌ 惜しい！ $Ax=b$ は解けないので、 $A\hat{x}$ は $b$ そのものではなく、射影 $Pb$ です。

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解答：

正規方程式を解くと $\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b$ です。したがって

$A\hat{x} = A(A^T A)^{-1} A^T \, b = P b,$

となり、これはちょうど $b$ の $A$ の列空間への射影です。 $b$ には届かない（厳密な解がない）ので、 $Pb$ が届く範囲で最も近い点、つまり最良の近似です。ここでグラム行列 $A^T A$ が正規方程式の係数行列として再び現れます。それが可逆なのは、まさに $A$ が列フルランクだからです。

正解数：0 / 4