線形代数 · 第4回 · 動画1 · インタラクティブ教材

積の逆行列と転置の規則

I重要な公式

公式 名称 要点
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} 積の逆行列の規則 順序が逆になる
(AB)T=BTAT(AB)^{T} = B^{T}A^{T} 積の転置の規則 順序が逆になる
(AT)−1=(A−1)T(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T} 転置と逆行列の入れ替え 二つの操作は入れ替えられる（可換）
(ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1} 三つ以上の積の逆行列 並び全体が逆転する

II可視化1 — 逆行列を掛ける順序

ABAB の逆行列として、逆順の B−1A−1B^{-1}A^{-1} は単位行列の判定に通り、A−1B−1A^{-1}B^{-1} は通らないのでしょうか。

III可視化2 — 内側から外側への打ち消し

(AB)(B−1A−1)(AB)(B^{-1}A^{-1}) を一段ずつ見ていきます。内側のペアが先に消え、次に外側が消えます — 靴を脱いでから靴下を脱ぐのと同じです。

💡 元の順序のままだと、内側のペアは B A−1B\,A^{-1} になり、II につぶれません — 内側から外側への打ち消しが働くのは、順序を逆にしたからです。

IV可視化3 — 転置と逆行列は入れ替えられる

可逆な AA を自由に作ったとき、(AT)−1(A^T)^{-1} と (A−1)T(A^{-1})^T はいつでも同じ行列になるでしょうか。

V確認クイズ

問1

AA と BB が可逆な行列のとき、(AB)−1(AB)^{-1} はどれですか。

✅ 正解です！ 順序が逆になります — 先に B⁻¹、次に A⁻¹ です。

❌ 惜しい！ 思い出してください：積の逆行列をとると、因子の順序が逆になります。

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解答：

積の逆行列では、因子の順序が逆になります：

(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

なぜでしょうか。 積 (AB)(B−1A−1)(AB)(B^{-1}A^{-1}) では、まず内側のペア BB−1=IBB^{-1} = I が消え、次に AA−1=IAA^{-1} = I が消えるからです。内側から外側への打ち消しは、順序を逆にしたときにしか働きません。

問2

正しいか誤りか：任意の可逆な行列 AA と BB に対して、次が成り立つ。

(AB)(A−1B−1)=I(AB)(A^{-1}B^{-1}) = I

✅ 正解です！ 元の順序のままだと、真ん中に簡単にならない項 BA⁻¹ が残って行き詰まります。

❌ 惜しい！ 積を展開してみましょう — 内側のペア BA⁻¹ は本当に打ち消し合いますか。

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解答：誤り

元の順序のままだと、次のようになります：

(AB)(A−1B−1)=A(BA−1)⏟≠ IB−1(AB)(A^{-1}B^{-1}) = A \underbrace{(BA^{-1})}_{\neq\, I} B^{-1}

真ん中の項 BA−1BA^{-1} は II になりません（一般に B≠AB \neq A だからです）。そのため積は行き詰まります。

正しい公式では、順序を逆にします：

(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)⏟= IA−1=AA−1=I  ✓(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A\underbrace{(BB^{-1})}_{=\,I}A^{-1} = AA^{-1} = I \;\checkmark

問3

AA、BB、CC がすべて可逆のとき、(ABC)−1(ABC)^{-1} はどれですか。

✅ 正解です！ どの因子も逆行列になり、並び全体が逆転します：C⁻¹B⁻¹A⁻¹。

❌ 惜しい！ 並び全体を逆にする必要があります — 積の最後の因子が、逆行列では最初に来ます。

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解答：

積の逆行列の規則は、因子がいくつあっても成り立ちます — どの因子も逆行列になり、並び全体が逆転します：

(ABC)−1=C−1B−1A−1(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}

検算：(ABC)(C−1B−1A−1)(ABC)(C^{-1}B^{-1}A^{-1}) では、まず内側のペア CC−1=ICC^{-1} = I が消え、次に BB−1=IBB^{-1} = I、最後に AA−1=IAA^{-1} = I が消えて、II になります。

問4

可逆な行列 AA について、(AT)−1(A^T)^{-1} に等しいのは次のどれですか。

✅ 正解です！ 転置と逆行列は入れ替えられます：(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ。同じ行列に二つの呼び名があるだけです！

❌ 惜しい！ 思い出してください：どんな可逆な行列についても、逆行列と転置は入れ替えられる操作です。

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解答：

AA−1=IAA^{-1} = I から出発して、両辺を転置します：

(AA−1)T=IT(AA^{-1})^T = I^T

積の転置の規則を使います（順序が逆になります）：

(A−1)T AT=I(A^{-1})^T \, A^T = I

これは、(A−1)T(A^{-1})^T が ATA^T の逆行列であることを示しています。したがって：

(AT)−1=(A−1)T\boxed{(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T}

逆行列と転置は入れ替えられます — どちらの順番で操作してもかまいません。

正解数：0 / 4