A = LU 分解

解答：

乗数は、消したい成分をピボットで割ったものです：

$$\ell_{21} = \frac{a_{21}}{a_{11}} = \frac{6}{3} = 2$$

乗数は 2 です。2行目から1行目の2倍を引いて、ピボットの下に 0 を作ります。

解答：

$L$ は下三角行列で、対角成分はすべて 1、その下に消去法の乗数が並びます：

$$L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ \ell_{21} & 1 & 0 \\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{bmatrix}$$

• ピボットが現れるのは $L$ ではなく、$U$ の対角線上（LDU 分解なら $D$ の中）です。
• 乗数が入るのは $L$ の対角線の上ではなく、その下です。

解答：正しい

$E_{32} \cdot E_{21}$ を計算すると、$E_{32}$ の成分 $(-m_{32})$ と $E_{21}$ の成分 $(-m_{21})$ が掛け合わされ、$(3,1)$ の位置に交差項 $m_{32} \cdot m_{21}$ が生まれます：

$$E_{32} \cdot E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -m_{21} & 1 & 0 \\ m_{32}m_{21} & -m_{32} & 1 \end{bmatrix}$$

しかし、逆行列を正しい順序で掛ければ、これはまったく起こりません：

$$L = E_{21}^{-1} \cdot E_{32}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ m_{21} & 1 & 0 \\ 0 & m_{32} & 1 \end{bmatrix}$$

交差項はありません — どの乗数も本来の位置にきれいに収まります。これは、各逆行列が書き換える行に、あとの逆行列が手を触れないからです。

解答：

$L \times U$ を1行ずつ計算します：

1行目：$[1, 0] \cdot \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = [1 \cdot 4 + 0 \cdot 0, \; 1 \cdot 2 + 0 \cdot 5] = [4, \; 2]$

2行目：$[3, 1] \cdot \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = [3 \cdot 4 + 1 \cdot 0, \; 3 \cdot 2 + 1 \cdot 5] = [12, \; 11]$

$$A = LU = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 12 & 11 \end{bmatrix}$$

よくある間違い：

• $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}$：$(2,2)$ の位置で $1 \cdot 5$ の項を忘れ、$3 \cdot 2 = 6$ しか計算していません。
• $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$：内積を計算せずに、行どうしを成分ごとにたし合わせています。
• $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$：これは $U$ そのものです — $L$ を掛けるのを忘れています。