線形代数 · 第4回 · 動画4 · インタラクティブ教材

置換行列 ― 行の入れ替え、群、そして P⁻¹ = Pᵀ

I重要な公式

公式	名称	説明
$P^{-1} = P^T$	逆行列の規則	どんな置換行列も、逆行列は転置に等しい
$PP^T = I$	直交性	転置との積は単位行列になる
$n!$	$n \times n$ 置換行列の個数	例： $3! = 6$ 、 $4! = 24$ 、 $5! = 120$
$PA = LU$	ピボット選択つきの LU 分解	消去法でピボットがゼロになったら、置換で行を入れ替えて解消する

II可視化1 — 行の入れ替えで P をつくる

入れ替えのたびに、互換を左から掛けます。何回か重ねると、 $P$ が $A$ の行を並べ替えていきます。

III可視化2 — 積は群の中にとどまる

6つの $3 \times 3$ 置換行列は、積について閉じています。どの積 $P_1 P_2$ も、再びこの6つのどれかになります。

1つ目 P₁ 2つ目 P₂

IV可視化3 — 対称群 S₃

表の積はどれも、6つのうちのどれかです。閉包性、単位元、各元の逆元がひと目でわかります。

💡 この6つの行列が対称群 $S_3$ です。 $n \times n$ なら、置換行列は $n!$ 個あります（ $4! = 24$ 、 $5! = 120$ ）。

V可視化4 — Pᵀ は P を元に戻す

$P$ を作用させてから $P^T$ を作用させると、行は $1,2,3$ の順に戻ります。つまり $P^T P = I$ です。

置換 P ステップ開始

💡 置換行列の行は正規直交なので、置換行列は直交行列です。 $Q^{-1} = Q^T$ がどんな直交行列 $Q$ でも成り立つのと、同じ理由です。

VI確認クイズ

問1

1行目と3行目を入れ替える置換行列 $P_{13}$ を考えます。

$P_{13} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ のとき、 $P_{13} \cdot A$ の1行目はどれですか。

✅ 正解です！ 1行目の3列目にある 1 が、A の3行目を選び出します。

❌ 惜しい！ P₁₃ の1行目で、1 がどこにあるかを見ましょう。その列の番号が、A のどの行を選ぶかを教えてくれます。

解答を見る

解答：

$P_{13}$ の1行目は $[0, 0, 1]$ です。 $A$ の各列との内積をとると：

$[0, 0, 1] \cdot A = 0 \cdot \text{(1行目)} + 0 \cdot \text{(2行目)} + 1 \cdot \text{(3行目)} = [g, h, i]$

3列目にあるただ1つの 1 が、 $A$ の3行目を選び出します。

答えは [g, h, i] です。

問2

積 $P_{12} \cdot P_{12}$ はどれですか。

$P_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

✅ 正解です！ 同じ2つの行を2回入れ替えると、入れ替えが取り消されて、単位行列になります。

❌ 惜しい！ 実際に何が起こるかを考えましょう。1行目と2行目を入れ替えて、もう一度入れ替えます。

解答を見る

解答：

$P_{12}$ は1行目と2行目を入れ替えます。これを2回作用させると：

1回目：1行目 ↔ 2行目を入れ替える
2回目：もう一度 1行目 ↔ 2行目を入れ替える（1回目の入れ替えが取り消されます！）

$P_{12}^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

同じ2つの行を2回入れ替えると、すべてが元の位置に戻ります。2つの行を入れ替えるだけの置換行列は、どれも自分自身の逆行列です： $P_{12}^{-1} = P_{12}$ 。

問3

正しいか誤りか：どの置換行列も $P^2 = I$ を満たす（つまり、どの置換行列も自分自身の逆行列である）。

✅ 正解です！ 2つの行を入れ替える置換は自分自身の逆行列ですが、巡回置換はそうではありません。いつでも成り立つ規則は P⁻¹ = Pᵀ です。

❌ 惜しい！ 巡回置換 (1→2→3→1) を考えましょう。2回作用させると、単位行列に戻るでしょうか。

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解答：誤り

これは $P_{12}$ 、 $P_{13}$ 、 $P_{23}$ のような2つの行の入れ替え（互換）では成り立ちますが、巡回置換では成り立ちません。

反例：巡回置換 $P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \neq I$

$P^2$ は逆回りの巡回置換です。この置換で単位行列に戻るのは、 $P^3 = I$ のときです。

正しい一般的な規則は $P^{-1} = P^T$ （転置）で、これはすべての置換行列で成り立ちます。

問4

異なる $4 \times 4$ 置換行列は、全部でいくつありますか。

✅ 正解です！ 4つの行の並べ方は 4! = 24 通りなので、置換行列は24個あります。

❌ 惜しい！ 個数は n! で、これは n 個の行の並べ方の数です。n = 4 なら、4 × 3 × 2 × 1 を計算しましょう。

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解答：24

$n \times n$ 置換行列は、単位行列の行を並べ替えたものです。 $n$ 個の行の並べ方は $n!$ 通り（n の階乗）です。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

サイズ	個数
$2 \times 2$	$2! = 2$
$3 \times 3$	$3! = 6$
$4 \times 4$	$4! = \mathbf{24}$
$5 \times 5$	$5! = 120$

これら $n!$ 個の行列は、対称群 $S_n$ をなします。

正解数：0 / 4