線形代数 · 第5回 · 動画2 · インタラクティブ教材

行列の転置と対称行列

I重要な公式

公式 名称 使う場面
(AT)ij=Aji(A^T)_{ij} = A_{ji} 転置の定義 行と列の添字を入れ替える
(AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T 逆順の規則 積の転置は順番が逆になる
(AT)T=A(A^T)^T = A 二回転置する性質 二回転置すると、もとの行列に戻る
AT=AA^T = A 対称性の判定 自分自身の転置に等しい行列

II可視化1 — 行が列になる

転置は各成分 AijA_{ij} を位置 (j,i)(j, i) に移します。AA の行はどれも ATA^T の列になります。

III可視化2 — RTRR^T R はいつでも対称

RR にどんな数を入れても、積 RTRR^T R は対称になります。対角線をはさんで向かい合う成分が、いつも一致するのです。

💡 必ず成り立つ理由：(RTR)T=RT(RT)T=RTR(R^T R)^T = R^T (R^T)^T = R^T R なので、この積は自分自身の転置に等しくなります。

IV可視化3 — 同じ対称性、異なるサイズ

RTRR^T R と RRTR R^T はどちらも対称ですが、そのサイズは RR の列の数と行の数で決まります。

💡 対角成分は二乗の和なので、決して負になりません。

V確認クイズ

問1

R=[132341]R = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} のとき、RTR^T の (1,3)(1, 3) 成分はいくつですか。

復習：(AT)ij=Aji(A^T)_{ij} = A_{ji}

✅ 正解です！ R^T の (1,3) 成分は R の (3,1) 成分に等しく、その値は 4 です。

❌ 惜しい！ (R^T)ᵢⱼ を求めるには、Rⱼᵢ を見ます。行と列の添字を入れ替えるのです。

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解答

求めるのは RTR^T の (1,3)(1, 3) 成分、つまり1行目・3列目の成分です。

転置の定義より：(RT)1,3=R3,1(R^T)_{1,3} = R_{3,1}

RR を見ると、3行目・1列目の成分は 4 です。

(RT)1,3=R3,1=4( R^T )_{1,3} = R_{3,1} = 4

問2

(AB)T(AB)^T は何に等しいですか。

✅ 正解です！ 逆順の規則で順番が逆になります：(AB)^T = B^T A^T。

❌ 惜しい！ 靴下と靴の規則を思い出しましょう。積を転置すると、順番が逆になります。

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解答

逆順の規則は次のとおりです：

(AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T

順番が逆になります！ 靴下と靴のたとえで考えてみましょう：

  • 履くとき：先に靴下、それから靴 →AB\to AB
  • 脱ぐとき：先に靴、それから靴下 →BTAT\to B^T A^T

よくある間違い：ATBTA^T B^T と書くと、順番が同じままです。これは誤りです！

問3

正しいか誤りか：RR が 3×23 \times 2 行列なら、RTRR^T R は 3×33 \times 3 行列である。

✅ 正解です！ R^T R は 3×3 ではなく 2×2 です。積 (2×3)(3×2) の結果は 2×2 になります。

❌ 惜しい！ R が 3×2 なら、R^T は 2×3 です。サイズを組み合わせると (2×3)(3×2) = ?

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解答：誤り

RR が 3×23 \times 2 なら、RTR^T は 2×32 \times 3 です。

RTR:(2×3)⏟RT⋅(3×2)⏟R=2×2⏟結果R^T R: \quad \underbrace{(2 \times 3)}_{R^T} \cdot \underbrace{(3 \times 2)}_{R} = \underbrace{2 \times 2}_{\text{結果}}

内側のサイズ（3 と 3）が一致するので掛け算ができ、外側のサイズ（2 と 2）が結果のサイズになります。

3×33 \times 3 になるのは RRTR R^T のほうです：

RRT:(3×2)⏟R⋅(2×3)⏟RT=3×3⏟結果R R^T: \quad \underbrace{(3 \times 2)}_{R} \cdot \underbrace{(2 \times 3)}_{R^T} = \underbrace{3 \times 3}_{\text{結果}}

問4

R=[132341]R = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} のとき、RTRR^T R の (1,2)(1, 2) 成分はいくつですか。

ヒント：(RTR)1,2(R^T R)_{1,2} は、RR の1列目と RR の2列目の内積です。

✅ 正解です！ 1·3 + 2·3 + 4·1 = 3 + 6 + 4 = 13 です。対称性から、(2,1) 成分も 13 になります！

❌ 惜しい！ 1列目 = (1, 2, 4) と2列目 = (3, 3, 1) の内積を取ります。対応する成分どうしを掛けて、すべてたし合わせましょう。

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解答

(RTR)1,2(R^T R)_{1,2} =（RTR^T の1行目）⋅\cdot（RR の2列目）

RTR^T の1行目 = RR の1列目 = (1, 2, 4)(1,\ 2,\ 4)

RR の2列目 = (3, 3, 1)(3,\ 3,\ 1)

(RTR)1,2=1⋅3+2⋅3+4⋅1=3+6+4=13(R^T R)_{1,2} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 1 = 3 + 6 + 4 = 13

これは (RTR)2,1=13(R^T R)_{2,1} = 13 とも等しくなります。まさに対称性のはたらきです！

正解数：0 / 4