線形代数 · 第5回 · 動画4 · インタラクティブ教材

行列の列空間

I重要な公式

公式	名称	説明
$A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n$	$A\mathbf{x}$ の列の見方	行列とベクトルの積を、列の一次結合として見る
$C(A) = \{\mathbf{b} : \mathbf{b} = A\mathbf{x} \text{ となる } \mathbf{x} \text{ が存在する}\}$	列空間	$A$ の出力として届くベクトル全体の集合
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつ $\iff$ $\mathbf{b} \in C(A)$	可解性の定理	解が存在するのは、 $\mathbf{b}$ が列空間に入っているとき、かつそのときに限る
$C(A) \subseteq \mathbb{R}^m$ （ $A$ が $m \times n$ 行列のとき）	全体空間	列空間は $\mathbb{R}^m$ （行の数で決まる）の中にある

II可視化1 — 列の一次結合としての Ax

出力 $A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2$ はどれも、列を定数倍し、矢印の先に次の矢印の根元をつなげてたし合わせたものです。

x₁ 1 x₂ 1

💡 列空間は部分空間です。必ず $\mathbf{0}$ を含みます（重みを両方とも 0 にすればよいのです）。

III可視化2 — 張る空間がつぶれるとき

独立な列は平面を埋め尽くします。 $\mathbf{a}_2$ を $\mathbf{a}_1$ と同じ直線上にそろえると、 $C(A)$ は直線につぶれます。

a₂ x 3 a₂ y 1

💡 チャレンジ： $\mathbf{a}_2$ を動かして、 $\det[\,\mathbf{a}_1\ \ \mathbf{a}_2\,] = 0$ にしてみましょう。その瞬間、平面が直線に変わります。

IV可視化3 — b に届くか

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつのは、ちょうど $\mathbf{b}$ が列空間 $C(A)$ に入っているときです。

b₁ 3 b₂ 2

💡 ここでの列は従属なので、 $C(A)$ は直線にすぎません。ほとんどの目標 $\mathbf{b}$ には届きません。

V確認クイズ

問1

列空間 $C(A)$ を最もよく表しているのは、次のうちどれですか。ここで $A$ は行列です。

✅ 正解です！ 列空間とは、まさに列が張る空間、つまり可能なすべての一次結合のことです。

❌ 惜しい！

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解答： $A$ の列のすべての一次結合の集合。

列空間は、次のように定義されます： $C(A) = \{x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n \mid x_i \in \mathbb{R}\} = \{A\mathbf{x} \mid \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}$

ほかの選択肢が誤りである理由：

「列の集合」 — これは $n$ 本の個々のベクトルにすぎません。 $C(A)$ はそれらのベクトルが張る空間で、無数の一次結合を含みます。
「 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ の解」 — それは零空間 $N(A)$ で、まったく別の部分空間です。
「 $\mathbb{R}^n$ のすべてのベクトル」 — 列空間があるのは $\mathbb{R}^m$ の中で（ $\mathbb{R}^n$ ではありません）、ふつうは $\mathbb{R}^m$ 全体ではなく、その真部分空間です。

問2

正しいか誤りか： $4 \times 3$ 行列の列空間は、 $\mathbb{R}^3$ の部分空間である。

✅ 正解です！ 各列の成分は4つなので、列は R⁴ の中にあります。列空間は R⁴ の部分空間で、R³ の部分空間ではありません。

❌ 惜しい！ よく考えてみましょう。各列ベクトルの成分はいくつありますか。

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解答：誤り

$4 \times 3$ 行列には、4つの行と3つの列があります。各列は成分が4つのベクトルなので、どの列も $\mathbb{R}^4$ の中にあります。

$C(A)$ はこれらの列が張る空間なので、 $C(A) \subseteq \mathbb{R}^4$ です。 $\mathbb{R}^3$ ではありません。

重要な規則： $m \times n$ 行列の列空間は、 $\mathbb{R}^m$ の中にあります（行の数で決まります）。列の数 $n$ によって、 $C(A)$ の次元は高々 $n$ に制限されますが、全体空間はいつも $\mathbb{R}^m$ です。

問3

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ とします。次のベクトル $\mathbf{b}$ のうち、 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつものはどれですか。

ヒント：それぞれの $\mathbf{b}$ を $x_1(1,2,4) + x_2(3,3,1)$ の形に書けるか、試してみましょう。

✅ 正解です！ x = (1, 1) とすると、1·(1,2,4) + 1·(3,3,1) = (4,5,5) になります。

❌ 惜しい！ それぞれの選択肢を連立方程式に代入して、3番目の式で矛盾が起きないか確かめてみましょう。

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解答：b = (4, 5, 5)

$\mathbf{b} = x_1(1,2,4) + x_2(3,3,1)$ となる必要があります。 $x_1 = 1,\; x_2 = 1$ を試します：

$1 \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+3\\2+3\\4+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\5\\5\end{pmatrix} \;\checkmark$

ほかの選択肢では、連立方程式から矛盾が出てきます。たとえば $\mathbf{b} = (0,0,1)$ の場合：

1番目と2番目の式から： $x_1 = 0,\; x_2 = 0$ 。
3番目の式： $4(0) + 1(0) = 0 \neq 1$ 。矛盾です — 解はありません。

幾何学的には、 $(4,5,5)$ は列空間の平面の上にあり、ほかの選択肢は乗っていません。

問4

$3 \times 2$ 行列の2本のゼロでない列が、互いのスカラー倍になっています（ $\mathbf{a}_2 = k\,\mathbf{a}_1$ 、ただし $k \neq 0$ ）。 $C(A)$ はどうなりますか。

✅ 正解です！ 従属な列では、列空間がつぶれます。どの一次結合も、1つの方向を向くからです。

❌ 惜しい！

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解答：R³ の中の、原点を通る直線

$\mathbf{a}_2 = k\,\mathbf{a}_1$ なら、どの一次結合も簡単になります：

$x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\,k\,\mathbf{a}_1 = (x_1 + kx_2)\,\mathbf{a}_1$

$x_1, x_2$ をどう選んでも、結果はいつも $\mathbf{a}_1$ のスカラー倍です。これは原点を通る直線を描きます。

ほかの選択肢が誤りである理由：

平面 — 平面になるには、独立な列が2本必要です。従属な列では、次元が1つつぶれます。
R³ 全体 — R³ の中の独立な2本の列でも、張るのは平面だけで、決して R³ 全体にはなりません。
零ベクトルだけ — $\mathbf{a}_1 \neq \mathbf{0}$ なので、張る空間は原点だけでなく、直線全体を含みます。

正解数：0 / 4