線形代数 · 第6回 · 動画2 · インタラクティブ教材

行列の列空間：Ax = b は列の一次結合の問題

I重要な公式

公式	名称	説明
$Ax = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n$	行列とベクトルの積	$Ax$ は $A$ の列の一次結合
$C(A) = \{Ax : x \in \mathbb{R}^n\}$	列空間	出力として得られるベクトル全体の集合
$\text{rank}(A) = \dim C(A)$	階数（ランク）	ピボット列（一次独立な列）の数に等しい
$Ax = b$ が解をもつ $\iff b \in C(A)$	可解性	$b$ は列空間に入っていなければならない

II可視化1 — 余分な列

3列目 $\mathbf{a}_3 = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ は、届く範囲を少しも広げません。その重みは、1列目と2列目に振り分け直せます。

x₁ 1 x₂ 0 x₃ 1

💡 動画の $A$ （ $\mathbf{a}_1=(1,2,3,4)$ , $\mathbf{a}_2=(1,1,1,1)$ , $\mathbf{a}_3=(2,3,4,5)=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$ ）で、 $x_3\mathbf{a}_3$ を $x_3\mathbf{a}_1+x_3\mathbf{a}_2$ に置き換えると、重みは $x_1'=x_1+x_3$ , $x_2'=x_2+x_3$ になります。軸は $C(A)$ の中の座標で、ピボット列 $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2$ を基準に測っています。

III可視化2 — 列空間を見る

一次独立な2本の列は、平面全体を埋め尽くします。 $\mathbf{a}_2$ を $\mathbf{a}_1$ と平行にすると、 $C(A)$ は直線につぶれます。

a₂ x 1 a₂ y 2

💡 動画の $\mathbb{R}^4$ の中の平面を、2次元に置き換えたものです。チャレンジ： $\det[\,\mathbf{a}_1\ \ \mathbf{a}_2\,]=0$ になるまで $\mathbf{a}_2$ を動かしましょう。その瞬間に平面は直線になり、 $\mathbf{a}_3=\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2$ もその直線の上につぶれます。

IV可視化3 — b に届くか

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ が解をもつのは、ちょうど $\mathbf{b}$ が列空間の直線の上にあるときです。予想してから確かめましょう。

目標 b

💡 この2本の列は一次従属（ $\mathbf{a}_2 = 2\mathbf{a}_1$ ）なので、 $C(A)$ はただの直線で、ほとんどの目標には届きません。動画で $\mathbf{b}=(0,0,0,1)$ が階数2の列空間の外に出たのと同じ理屈です。

V確認クイズ

問1

行列とベクトルの積 $Ax$ を計算した結果を最もよく表しているのはどれですか。

✅ 正解です！ x の各成分が A の列1本ずつの重みになり、出力はそれらの重み付きの和です。

❌ 惜しい！ x の各成分が何をしているか考えましょう。各成分は、A の列を1本ずつ定数倍しています。

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解答：

行列とベクトルの積 $Ax$ は次のようになります： $Ax = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n$

各成分 $x_i$ は、列 $\mathbf{a}_i$ にかかる重みです。結果は、 $x$ が重みを与える $A$ の列の一次結合になります。これが、行列の積を列空間の立場から見る基本的な解釈です。

問2

動画の行列 $A$ は $4 \times 3$ で、列は $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 、ただし $\mathbf{a}_3 = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ です。 $\dim C(A)$ はいくつですか。

✅ 正解です！ 3本の列のうち一次独立なのは2本だけなので、列空間は2次元です。

❌ よくある間違いです！ 列が3本あるからといって、dim = 3 になるわけではありません。3列目は一次従属で、ただ乗りをしています！

❌ 惜しい！ A の一次独立な列の数を数えましょう。

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解答：dim C(A) = 2

$A$ には列が3本ありますが、 $\mathbf{a}_3 = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ なので、3列目は一次従属です。一次独立なのは1列目と2列目だけで、これがピボット列です。

$\dim C(A) = \text{rank}(A) = \text{ピボット列の数} = \boxed{2}$

大切な教訓：列の数で次元が決まるわけではありません。数えるのは一次独立な列だけです！

問3

正しいか誤りか： $A$ が $\text{rank}(A) = 3$ の $5 \times 4$ 行列ならば、すべての $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^5$ に対して $Ax = b$ は解をもつ。

✅ 正解です！ 階数 3 < 行の数 5 なので、C(A) は R⁵ 全体を埋め尽くしません。ほとんどのベクトル b には届きません。

❌ もう一度考えましょう。 階数を行の数と比べましょう。列空間は R⁵ 全体を埋め尽くすでしょうか。

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解答：誤り

すべての $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^5$ に対して $Ax = b$ が解をもつには、列空間が $\mathbb{R}^5$ 全体を埋め尽くさなければなりません： $\text{rank}(A) = m = 5 \quad \text{（行フルランク）}$

ところが $\text{rank} = 3 < 5 = m$ です。列空間 $C(A)$ は $\mathbb{R}^5$ の3次元の部分空間にすぎません。 $\mathbb{R}^5$ のほとんどのベクトルはこの部分空間の外にあり、届きません。

連立方程式が解をもつためには、 $\mathbf{b}$ が $5 - 3 = 2$ 個の条件を満たさなければなりません。

問4

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ の列空間 $C(A)$ に入らないベクトルはどれですか。

✅ 正解です！ 動画で見たとおり、(0,0,0,1) では矛盾が生じます。このベクトルは列空間の平面から外れたところに浮かんでいます。

❌ 惜しい！ それぞれのベクトルを x₁(1,2,3,4) + x₂(1,1,1,1) の形に書いてみて、矛盾が出ないか確かめましょう。

解答を見る

解答：(0, 0, 0, 1)

階数は 2 でピボット列は $\mathbf{a}_1$ と $\mathbf{a}_2$ なので、 $\mathbf{b} = x_1(1,2,3,4) + x_2(1,1,1,1)$ となる必要があります。

(0, 0, 0, 1) を確かめる

1行目： $x_1 + x_2 = 0 \implies x_2 = -x_1$
2行目： $2x_1 + x_2 = 0 \implies x_1 = 0$ 、よって $x_2 = 0$
4行目： $4(0) + 1(0) = 0 \neq 1$ — 矛盾です！ ❌

残りの3つは、どれも $C(A)$ に入っています

$(1,2,3,4) = 1\cdot\mathbf{a}_1 + 0\cdot\mathbf{a}_2$ ✓
$(2,3,4,5) = 1\cdot\mathbf{a}_1 + 1\cdot\mathbf{a}_2$ ✓
$(0,-1,-2,-3) = (-1)\cdot\mathbf{a}_1 + 1\cdot\mathbf{a}_2$ ✓

正解数：0 / 4