線形代数 · 第6回 · 動画3 · インタラクティブ教材

行列の零空間：Ax = 0 の解をすべて求める

I重要な公式

公式	名称	説明
$N(A) = \{x \in \mathbb{R}^n : Ax = 0\}$	零空間（核）の定義	$A$ によって零ベクトルに送られるベクトル全体
$A(v + w) = Av + Aw$	分配法則	加法について閉じていることを証明する鍵
$A(cv) = c(Av)$	スカラーをくくり出せる性質	スカラー倍について閉じていることを証明する鍵
零空間 $\subseteq \mathbb{R}^n$ 、列空間 $\subseteq \mathbb{R}^m$	次元の規則	$n$ = 列の数、 $m$ = 行の数

II可視化1 — 行列という機械

$A$ にベクトルを入れてみます。零ベクトルでない $x$ のうち、 $\mathbf{0}$ になって出てくるのはどれでしょうか。

x₁ 1 x₂ 0 x₃ 0

💡 チャレンジ：列は $\mathbf{c}_3 = \mathbf{c}_1 + \mathbf{c}_2$ を満たしています。 $x_1\mathbf{c}_1 + x_2\mathbf{c}_2 + x_3\mathbf{c}_3 = \mathbf{0}$ となる重みはいくつでしょうか。

III可視化2 — 行簡約で零空間を求める

自由列が1つなら特殊解が1つ得られ、そのスカラー倍が $N(A)$ を埋め尽くします。

ステップ 0

💡 特殊解 $(-1,-1,1)$ は $-(1,1,-1)$ にほかなりません。向きが同じなので、 $N(A) = \operatorname{span}\{(1,1,-1)\}$ です。

IV可視化3 — 部分空間と、それを平行移動した直線

$Ax=\mathbf{0}$ の解は原点を通る直線をなします。 $Ax=\mathbf{b}$ の解は、その直線を原点から外へずらしたものです。

t 1

💡 2本の直線は同じ方向 $(1,1,-1)$ をもち、決して交わりません。 $Ax=\mathbf{b}$ の直線は、 $N(A)$ を特解の1つ $\mathbf{p}=(1,0,0)$ まで平行移動したものです。

V確認クイズ

問1

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ を考えます。次のベクトルのうち、零空間 $N(A)$ に入っているのはどれですか。

✅ 正解です！ (2, 2, -2) = 2·(1, 1, -1) は零空間の基底ベクトルのスカラー倍なので、N(A) に入っています。

❌ 惜しい！ 零空間は (1, 1, -1) のスカラー倍全体です。どの選択肢がこのベクトルのスカラー倍になっているか、確かめてみましょう。

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解答：

零空間は $N(A) = \{c(1, 1, -1) : c \in \mathbb{R}\}$ です。選択肢を1つずつ確かめます。

(1, 0, 0)： $Ax = (1, 2, 3, 4) \neq 0$ ✗
(2, 2, -2)：これは $2 \cdot (1, 1, -1)$ です。検算： $1(2)+1(2)+2(-2)=0$ 、 $2(2)+1(2)+3(-2)=0$ などとなり、 $Ax = (0,0,0,0)$ ✓
(1, -1, 0)： $Ax = (0, 1, 2, 3) \neq 0$ ✗
(0, 1, -1)： $Ax = (-1, -2, -3, -4) \neq 0$ ✗

$2 \cdot (1, 1, -1)$ に等しいので、答えは (2, 2, -2) です。

問2

正しいか誤りか： $4 \times 3$ 行列の零空間は $\mathbb{R}^4$ の部分空間である。

✅ 正解です！ 零空間が住んでいるのは R⁴ ではなく R³ です（3つの列で決まります）。R⁴ に住んでいるのは列空間のほうです。

❌ 惜しい！ よく考えてみましょう。零空間がどこに住むかを決めるのは、行の数と列の数のどちらでしょうか。

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解答：

誤りです。 $4 \times 3$ 行列の零空間は $\mathbb{R}^3$ の部分空間であり、 $\mathbb{R}^4$ の部分空間ではありません。

規則は $N(A) \subseteq \mathbb{R}^n$ で、 $n$ は列の数です。 $4 \times 3$ 行列には列が3つあるので、 $x$ の成分は3つでなければならず、 $N(A) \subseteq \mathbb{R}^3$ となります。

列空間のほうは $\mathbb{R}^4$ に住んでいます（行が4つあるからです）。零空間と列空間は、まったく別の空間にあるのです。

問3

$v$ と $w$ がどちらも $Ax = b$ （ただし $b \neq 0$ ）の解だとします。 $A(v + w)$ は何に等しいですか。

✅ 正解です！ A(v+w) = Av + Aw = b + b = 2b です。b ≠ 0 なら 2b ≠ b なので、2つの解の和は解になりません。

❌ 惜しい！ 分配法則を使いましょう：A(v+w) = Av + Aw。Av = b、Aw = b であることはわかっています。

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解答：

$Av = b$ 、 $Aw = b$ なので、分配法則を使います。

$A(v + w) = Av + Aw = b + b = 2b$

$Ax = b$ （ $b \neq 0$ ）の解の集合が部分空間ではない理由は、まさにここにあります。2つの解の和からは $2b \neq b$ が得られるので、 $v + w$ 自身は解ではありません。加法について閉じていないのです。

零空間と比べてみましょう。 $Av = 0$ かつ $Aw = 0$ なら、 $A(v+w) = 0 + 0 = 0$ です。 $b = 0$ のときは、きちんと閉じているのです。

問4

列空間と零空間は、どの行列にも付いてくる2つの部分空間です。両者の違いを最もよく表しているのはどれですか。

✅ 正解です！ これは重要な洞察です。生成元から組み上げることと、制約条件で削り出すこと。この2つが、線形代数全体で部分空間が現れる、互いに補い合う2つの方法です。

❌ 惜しい！ 考え方の違いに注目しましょう。一方は部品から出発して組み上げ、もう一方は条件から出発してふるい分けます。

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解答：

正解は「列空間は生成元から組み上げられ、零空間は制約条件で削り出される」です。

これが、線形代数で部分空間が現れる2つの基本的な方法です。

列空間 — 生成元（ $A$ の列）から出発して、その一次結合をすべて作ります。「部品はこれだけ。何が作れるだろう？」
零空間 — 制約条件（ $Ax = 0$ ）から出発して、それを満たすものをすべて集めます。「規則はこれだけ。何が当てはまるだろう？」

ほかの選択肢は、次の理由で誤りです。

大きさの比較は、具体的な行列によって変わります
2つは別々の空間に住んでいます： $C(A) \subseteq \mathbb{R}^m$ 、 $N(A) \subseteq \mathbb{R}^n$
どちらも消去法で求められます

正解数：0 / 4