線形代数 · 第7回 · 動画1 · インタラクティブ教材

消去法でゼロが出たら

I重要な公式

公式	名称	説明
$\text{rank}(A) = r$	階数（ランク）	階段形におけるピボットの個数
自由変数の個数 $= n - r$	自由変数の個数	列の総数から階数を引いたもの
$\dim(\text{Null}(A)) = n - r$	零空間の次元	自由変数の個数に等しい
ピボット列 $\to$ 独立	列の分類	ピボットを含む列は一次独立である

II可視化1 — ピボットの位置に 0 が現れたら

消去法でこの $3\times4$ 行列を階段形へと変形していきます。ピボットの位置に 0 が現れたら、どうなるでしょうか。

ステップ 0

行列

ピボット自由列ピボットがゼロ

ステップ0 · 元の A

隠れた構造：

c_2 = 2c_1

と

R_3 = R_1 + R_2

。消去法はこの両方を明らかにします。

ステップ1 · 1列目を消去

R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1

。ピボットは

a_{11}=1

で、2行目は

[\,0\;0\;2\;4\,]

になります。

ステップ2 · ピボットの位置に 0

R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1

のあとは

(2,2)=0

で、その下も

(3,2)=0

です。入れ替えられる行がないので、2列目は飛ばします。

ステップ3 · 階段形 U

R_3 \leftarrow R_3 - R_2

で3行目がすべて 0 になります。ピボットは1列目と3列目 → 階数

=2

。2列目と4列目は自由列です。

III可視化2 — ピボット列と自由列

消去を終えたとき、ある列がピボットをもつか自由列になるかは、何で決まるのでしょうか。

行列

元の A

階段形 U

IV可視化3 — 階数による変数の分かれ方

階数 $r$ は $n$ 個の列を、 $r$ 個のピボット変数と $n-r$ 個の自由変数に分けます。零空間が自明になるのはどんなときでしょうか。

行数 m 3 列数 n 4 階数 r 2

💡 行数 $m$ は、 $r$ の上限を決めるだけです（ $r \le \min(m,n)$ ）。自由変数の個数 $n-r$ 、したがって零空間の次元は、 $n$ と $r$ だけで決まります。

V確認クイズ

問1

次の階段形が与えられています： $U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

元の行列 $A$ の階数はいくつですか。

✅ 正解です！ ピボットは2つ（(1,1) と (2,3) の位置）なので、階数は 2 です。

❌ 惜しい！ 先頭の 0 でない成分を数えましょう。U の 0 でない行1つにつき1つあります。

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解答

階数は、階段形におけるピボット（0 でない各行の、先頭の 0 でない成分）の個数に等しくなります。

$U$ を見ると：

1行目：先頭の成分は1列目の $1$ → 1つ目のピボット
2行目：先頭の成分は3列目の $2$ → 2つ目のピボット
3行目：すべて 0 → ピボットなし

$\text{rank}(A) = \text{ピボットの個数} = 2$

問2

上と同じ階段形 $U$ で、自由変数はどれですか。

✅ 正解です！ 2列目と4列目にはピボットがないので、 $x_2$ と $x_4$ が自由変数です。

❌ 惜しい！ 自由変数は、ピボットをもたない列に対応します。各行の先頭の 0 でない成分がどの列にあるか確かめましょう。

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解答

ピボットのある列 → ピボット変数。ピボットのない列 → 自由変数。

$U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ から：

列	ピボットの有無	変数の種類
1列目	あり（1行目の 1）	$x_1$ はピボット変数
2列目	なし	$x_2$ は自由変数 ✓
3列目	あり（2行目の 2）	$x_3$ はピボット変数
4列目	なし	$x_4$ は自由変数 ✓

自由変数は $x_2$ と $x_4$ です。

問3

正しいか誤りか：行簡約（消去法）では、行列の列空間は変わらない。

つまり、 $U$ が $A$ に行基本変形をほどこして得られたものならば、 $U$ の列空間は $A$ の列空間に等しい。

✅ 正解です！ 消去法で零空間（と行空間）は変わりませんが、列空間は変わってしまいます。列空間を調べるときは、必ず元の行列 $A$ を使いましょう。

❌ 惜しい！ 行基本変形は、各列の成分を変えてしまいます。 $U$ の列は $A$ の列とは別のベクトルなので、それらが張る空間も一般には異なります。

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解答：誤り

行基本変形は各列の成分そのものを変えるので、 $U$ の列空間は一般に $A$ の列空間とは異なります。

消去法で変わらないもの：

性質	変わらないか	理由
零空間	✅ 変わらない	$Ax = 0$ と $Ux = 0$ の解はまったく同じ
行空間	✅ 変わらない	行基本変形のあとも、行は同じ空間を張る
列空間	❌ 変わる	$U$ の列は別のベクトルになる
階数	✅ 変わらない	ピボットの個数が同じ

目安：零空間についての問題なら $U$ を使い、列空間についての問題なら $A$ に戻りましょう。

問4

$5 \times 7$ 行列 $A$ の階数は 3 です。 $A$ の零空間の次元はいくつですか。

✅ 正解です！ 列の数が $n = 7$ 、階数が $r = 3$ なので、零空間の次元は $7 - 3 = 4$ です。

❌ 惜しい！ 公式「零空間の次元 = n − r」を使いましょう。ここで n は（行ではなく）列の数です。

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解答

零空間の次元は、自由変数の個数に等しくなります：

$\dim(\text{Null}(A)) = n - r$

ここで、 $n$ は列の数、 $r$ は階数です。

$\dim(\text{Null}(A)) = 7 - 3 = 4$

零空間は、 $\mathbb{R}^7$ の4次元の部分空間です。

重要：行の数（ $m = 5$ ）は、この公式には現れません。零空間の次元を決めるのは、 $n$ （列の数）と $r$ （階数）だけです。

ピボット変数は $r = 3$ 個（後退代入で決まる）
自由変数は $n - r = 4$ 個（どんな値にしてもよい）

正解数：0 / 4