線形代数 · 第8回 · 動画1 · インタラクティブ教材

Ax = b が解をもつのはいつか？

I重要な公式

概念	公式 / ルール	意味
列空間	$C(A) = \{A\mathbf{x} : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\}$	$A\mathbf{x}$ として到達できるベクトル $\mathbf{b}$ の全体
可解性	$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつ $\iff \mathbf{b} \in C(A)$	$\mathbf{b}$ は列空間に属していなければならない
行のテスト	$c_1 R_1 + c_2 R_2 + \cdots = \mathbf{0}$ ならば $c_1 b_1 + c_2 b_2 + \cdots = 0$	行の従属関係が $\mathbf{b}$ に制約を課す
矛盾	$[0 \; 0 \; \cdots \; 0 \mid d]$ （ただし $d \neq 0$ ）	左側が零行で右辺が 0 でない → 解なし

II可視化1 — 列空間に乗るかどうか

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつのは、 $\mathbf{b}$ が列空間の上に乗るときちょうどです。この図では、列空間は直線 $b_3 = b_1 + b_2$ として現れます。

b₁+b₂ 6 b₃ 6

💡 条件 $b_1 + b_2 = b_3$ は、 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}$ の行が $R_1 + R_2 = R_3$ を満たすことから来ています。そのため $C(A)$ は $\mathbb{R}^3$ 全体ではなく、階数 2 の平面です。

III可視化2 — 消去法で条件があらわになる

右辺を $[A \mid \mathbf{b}]$ に入れて消去すると、最後の行は $0 = b_3 - b_1 - b_2$ につぶれます。

b₁ 1 b₂ 5 b₃ 6

[ A | b ] — 元の行列

[ U | b′ ] — 消去後

💡 最後の行の残差は、 $R_1 + R_2 - R_3$ を $\mathbf{b}$ に施したものです。 $A$ の行の従属関係が、 $\mathbf{b}$ の満たすべき制約になるのです。

IV可視化3 — 解をもつのはどれほどまれか

ランダムな右辺が $b_3 = b_1 + b_2$ をぴったり満たすことは、まずありません。解をもつ右辺の集合は、体積 0 の平面だからです。

許容幅 0.50 標本数

💡 未知数が4つで方程式が3つしかなくても、ほとんどの $\mathbf{b}$ では解がありません。従属関係 $R_1 + R_2 = R_3$ によって、 $C(A)$ は $\mathbb{R}^3$ の中の2次元の平面に閉じ込められているからです。

V確認クイズ

問1

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}$ のとき、 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつのは、どの右辺 $\mathbf{b}$ でしょうか。

✅ 正解です！ $2 + 3 = 5$ なので、条件 $b_1 + b_2 = b_3$ が満たされています。

❌ 惜しい！ 各選択肢について、 $b_1 + b_2 = b_3$ が成り立つかどうかを確かめましょう。

解答を見る

解答：

可解条件は $b_1 + b_2 = b_3$ です（ $A$ では 1行目 + 2行目 = 3行目だからです）。

各選択肢を確かめます。

$\mathbf{b} = (1, 2, 4)$ : $1 + 2 = 3 \neq 4$ ✗
$\mathbf{b} = (2, 3, 5)$ : $2 + 3 = 5$ ✓ 解をもつ！
$\mathbf{b} = (1, 1, 1)$ : $1 + 1 = 2 \neq 1$ ✗
$\mathbf{b} = (0, 0, 1)$ : $0 + 0 = 0 \neq 1$ ✗

答えは $\mathbf{b} = (2, 3, 5)$ です。

問2

拡大係数行列 $[A|\mathbf{b}]$ にガウスの消去法を行ったところ、行 $[0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\mid\; 0]$ （両側ともすべて 0）が得られました。このことから何がわかるでしょうか。

✅ 正解です！ $0 = 0$ はいつでも正しいので、矛盾ではなく冗長な方程式です。

❌ 惜しい！ その方程式は $0 = 0$ と言っています。これが誤りになることはあるでしょうか。矛盾が生じるのは、右側が 0 でないときだけです。

解答を見る

解答：

行 $[0\; 0\; 0\; 0 \mid 0]$ は $0 = 0$ を表し、これはいつでも正しい式です。つまり冗長な方程式で、新しい制約を何も加えません。

区別すべき点：

零行 + 右辺が 0 → $0 = 0$ → 矛盾なし → 連立方程式はまだ解をもつ可能性がある
零行 + 右辺が 0 でない → $0 = d \neq 0$ → 矛盾 → 解なし

解がちょうど1つか無数にあるかは、零行そのものではなく、ピボット列の個数と未知数の個数の比較で決まります。

問3

正しいか誤りか：連立方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ の未知数が方程式より多ければ、どんな $\mathbf{b}$ に対しても少なくとも1つの解をもつことが保証される。

✅ 正解です！ 未知数がいくつあっても、行の従属関係があれば、ある $\mathbf{b}$ に対しては解をもたなくなります。

❌ 惜しい！ 動画の $3 \times 4$ の例を思い出しましょう。どんな $\mathbf{b}$ でも解が得られたでしょうか。

解答を見る

解答：誤り。

動画の例の $A$ は $3 \times 4$ 行列です（方程式が3つ、未知数が4つ）。それでも $b_1 + b_2 \neq b_3$ のときは、 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ は解をもちません。

なぜでしょうか。 $A$ の行の従属関係が、 $\mathbf{b}$ に制約を課すからです。行が一次従属なら、ある一次結合が零行になり、 $\mathbf{b}$ も同じ一次結合について条件を満たさなければなりません。

未知数が方程式より多いことで実際に保証されるのは、「解が存在するならば、それは一意ではない（自由変数がある）」ということです。しかし、解の存在そのものは $\mathbf{b}$ しだいです。

問4

$3 \times 3$ 行列 $B$ の行が、関係 $2 \cdot (\text{1行目}) - 1 \cdot (\text{2行目}) + 1 \cdot (\text{3行目}) = \mathbf{0}$ を満たしています。

$B\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつために、 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ が満たすべき条件はどれでしょうか。

✅ 正解です！ まったく同じ係数 $(2, -1, 1)$ を、 $\mathbf{b}$ の成分に施します。

❌ 惜しい！ 行の一次結合の係数が、そのまま移ります： $2 \cdot b_1 + (-1) \cdot b_2 + 1 \cdot b_3 = 0$ 。

解答を見る

解答：

動画の重要なルール： $A$ の行のある一次結合が零行になるなら、同じ一次結合を $\mathbf{b}$ に施した結果も 0 でなければならない。

与えられた関係： $2 \cdot R_1 - 1 \cdot R_2 + 1 \cdot R_3 = \mathbf{0}$

同じ係数 $(2,\, -1,\, 1)$ を $\mathbf{b}$ に施すと：

$2 b_1 - b_2 + b_3 = 0$

これが求める可解条件です。ベクトル $(2, -1, 1)$ は $B$ の左零空間に属しています。

正解数：0 / 4