線形代数 · 第8回 · 動画2 · インタラクティブ教材

すべての解を一度に：Ax = b の一般解

I重要な公式

公式	名称	説明
$\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$	一般解（完全な解）	特解 + 零空間のベクトル
$A\mathbf{x}_p = \mathbf{b}$	特解	自由変数をすべて 0 とおいて求める
$\mathbf{x}_n = c_1\mathbf{x}_{s1} + c_2\mathbf{x}_{s2} + \cdots$	零空間成分	零空間の基底ベクトルの一次結合
$\text{自由変数の個数} = n - \text{rank}(A)$	零空間の次元	$n$ = 列の個数

II可視化1 — 一般解を組み立てる

$c_1$ と $c_2$ をあらゆる値に動かしたとき、 $A\mathbf{x}$ が $\mathbf{b}$ から離れることはあるでしょうか。

c₁ 0 c₂ 0

💡 $\mathbf{x}_p = (-2, 0, \tfrac{3}{2}, 0)$ 、零空間の基底 $\mathbf{s}_1 = (-2, 1, 0, 0),\ \mathbf{s}_2 = (2, 0, -2, 1)$ では、どちらも $A\mathbf{s}_i = \mathbf{0}$ です。そのため $c_1\mathbf{s}_1 + c_2\mathbf{s}_2$ を足すと $\mathbf{x}$ は動きますが、 $A\mathbf{x}$ はまったく動きません。

III可視化2 — 零空間をずらす

$x_1 + 2x_2 = 4$ の解の集合は、零空間の直線を原点から離れるようにずらしたものです。どれだけずれているのでしょうか。

ずらし 100%

💡 ずらし終えた直線はアフィン部分空間（「フラット」）です。向きも次元も $N(A)$ と同じですが、 $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ のときは原点を通らないので、部分空間ではありません。

IV可視化3 — 存在と一意性

解は存在するか、そしてそれは一意か。この2つの独立したスイッチが、解の構造全体を決めます。

存在一意性

💡 列空間が存在を決め、零空間が一意性を決めます。2つは独立したテストで、両方を満たすときに限り、解はただ1点になります。

V確認クイズ

問1

動画の連立方程式は、行基本変形で次の階段形になります。 $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$

「自由変数を 0 とおく」という手順を使うと、特解 $\mathbf{x}_p$ はどうなるでしょうか。

✅ 正解です！ 自由変数（ $x_2, x_4$ ）を 0 とおき、後退代入すると $x_3 = 3/2$ 、 $x_1 = -2$ が得られます。

❌ 惜しい！ 思い出しましょう。この手順では、まず自由変数（ピボットのない列に対応する変数）をすべて 0 とおき、それから後退代入でピボット変数を求めます。

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解答：

ステップ1：自由変数を見つけます。ピボットは1列目と3列目にあるので、 $x_2$ と $x_4$ が自由変数です。

ステップ2：自由変数を 0 とおきます： $x_2 = 0$ 、 $x_4 = 0$ 。

ステップ3：下の行から上へ、後退代入します。

2行目から： $\;2x_3 + 4(0) = 3 \implies 2x_3 = 3 \implies x_3 = \frac{3}{2}$

1行目から： $\;x_1 + 2(0) + 2\!\left(\frac{3}{2}\right) + 2(0) = 1 \implies x_1 + 3 = 1 \implies x_1 = -2$

$\mathbf{x}_p = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \end{pmatrix}$

問2

正しいか誤りか： $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ のとき、 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ の解の集合は $\mathbb{R}^n$ の部分空間である。

✅ 正解です！ $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ のとき、零ベクトルは $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ を満たしません。したがって解の集合は部分空間ではなく、アフィン部分空間です。

❌ 惜しい！ $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ のとき、零ベクトルは $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ を満たすでしょうか。部分空間は必ず $\mathbf{0}$ を含みます。

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解答：誤り

部分空間は零ベクトル $\mathbf{0}$ を必ず含みます。ところが $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ のときは、

$A\mathbf{0} = \mathbf{0} \neq \mathbf{b}$

となるので、 $\mathbf{0}$ は解の集合に入っていません。部分空間の一番基本的なテストに落ちてしまうのです。

解の集合はアフィン部分空間（「フラット」）です。形も次元も零空間と同じですが、 $\mathbf{x}_p$ だけ原点から平行移動しています。フラットが部分空間になるのは、原点を通るとき（つまり $\mathbf{b} = \mathbf{0}$ のとき）だけです。

問3

$4 \times 7$ 行列 $A$ の階数は 3 です（ピボット列が3本）。連立方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつとき、解の集合の次元はいくつでしょうか。

✅ 正解です！ 列が7本で階数が 3 なので、自由変数は $7 - 3 = 4$ 個。解の集合は4次元です。

❌ 惜しい！ 次元は自由変数の個数、つまり（列の個数）−（階数）に等しくなります。もう一度考えてみましょう。

解答を見る

解答：4

ステップ1：未知数を数えます。行列の列は7本なので、未知数は7個です。

ステップ2：自由変数を数えます。 $\text{自由変数の個数} = n - \text{rank}(A) = 7 - 3 = 4$

ステップ3：自由変数1つにつき、零空間の基底ベクトルが1本得られます。 $\dim(N(A)) = 4$

ステップ4：解の集合は $\mathbf{x}_p$ +（4次元の零空間）で、 $\mathbb{R}^7$ の中の4次元のフラット（アフィン部分空間）です。

解の集合の次元は、いつでも自由変数の個数に等しくなります。

問4

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ がちょうど1つの解をもつことを保証する条件の組はどれでしょうか。

✅ 正解です！ 存在には $\mathbf{b} \in C(A)$ が、一意性には零空間が自明であることが必要です。両方そろえば、解はちょうど1つに決まります。

❌ 惜しい！ 思い出しましょう。列空間が存在を決め、零空間が一意性を決めます。解がちょうど1つになるには、両方の条件が必要です。

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解答：b ∈ C(A) かつ N(A) = {0}

解がちょうど1つになるには、両方の条件が同時に成り立たなければなりません。

	列空間の判定	零空間の判定	結果
$\mathbf{b} \in C(A)$ かつ $N(A) = \{\mathbf{0}\}$	✅ 存在する	✅ 一意	ちょうど1つ
$\mathbf{b} \in C(A)$ かつ $N(A) \neq \{\mathbf{0}\}$	✅ 存在する	❌ 一意でない	無数
$\mathbf{b} \notin C(A)$	❌ 存在しない	関係ない	解なし

存在には $\mathbf{b} \in C(A)$ が必要です。そうでなければ、そもそも $\mathbf{x}_p$ がありません。
一意性には $N(A) = \{\mathbf{0}\}$ が必要です。このとき一般解 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + \mathbf{x}_n$ は $\mathbf{x} = \mathbf{x}_p$ だけになります。

両方の条件が必要で、どちらか一方だけでは十分ではありません。

正解数：0 / 4