線形代数 · 第9回 · 動画3 · インタラクティブ教材

次元定理：行列の列はピボット列と自由列にきっちり分かれる

I重要な公式

公式	名称	説明
$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$	次元定理	ピボット列の数 + 自由列の数 = 列の総数
$\text{rank}(A) = r$	階数（ランク）	行簡約したあとのピボットの位置の個数
$\text{nullity}(A) = n - r$	退化次数	自由変数の個数 = 零空間の次元
$\dim(\text{Col}(A)) = r$	列空間の次元	つねに階数に等しい

II可視化1 — ピボット列と自由列

行簡約によって、 $A$ の列は2種類に仕分けられます。 $C(A)$ の土台となるのはどの列で、すでにそれらの一次結合になっているのはどの列でしょうか？

調べる列

行列 A · 列をクリック

ピボット列 → C(A) の基底自由列 → ピボット列の一次結合

簡約行階段形 R · 係数を読み取る

💡 $C(A)$ の基底になるのは、 $R$ ではなく元の $A$ のピボット列です。行簡約はどの列が従属かという関係は保ちますが、列ベクトルそのものは変えてしまいます。

III可視化2 — 列が側を移る

$t$ を動かして $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&t\end{bmatrix}$ の2つの行を従属にすると、ピボットを失うのはどの列でしょうか？そして、その列はどちらの側に移るでしょうか？

パラメータ t 6

行列 A → 階段形 U

R₂ ← R₂ − 2R₁ のあと

3つの列

IV可視化3 — 四つの基本部分空間

階数 $r$ が決まると、四つの基本部分空間がすべて一度に決まります。では、残りの次元はどこへ行くのでしょうか？

行数 m 3 列数 n 4 階数 r 2

行空間

零空間

A
→

列空間

左零空間

💡 列空間と行空間の次元は、つねに同じ $r$ です。列の階数と行の階数が等しいからこそ、「階数」がただ一つに定まる数になるのです。

V確認クイズ

問1 · 基本の適用

行列 $A$ は $3 \times 5$ （3行5列）で、階数は 3 です。 $A$ の退化次数はいくつでしょうか？

✅ 正解です！ 退化次数 = n − 階数 = 5 − 3 = 2 です。

❌ 惜しい！ 退化次数 = n − 階数で、n は（行ではなく）列の数です。

解答を見る

解答：

次元定理より $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$ $3 + \text{nullity}(A) = 5$ $\text{nullity}(A) = 5 - 3 = 2$

退化次数は 2 です。つまり零空間は 2 次元です（行簡約のあと、自由変数が 2 つあります）。

問2 · よくある落とし穴

行列 $A$ を行簡約すると、階段形の1列目と2列目にピボットがありました。 $A$ の列空間の基底を求めるには、どの列を使えばよいでしょうか？

✅ 正解です！ 基底ベクトルは必ず元の行列から取ります。行簡約が教えてくれるのは、どの列を選ぶかだけです。

❌ 惜しい！ 行基本変形は列ベクトルそのものを変えてしまいます。どの列を選ぶかは階段形が教えてくれますが、実際のベクトルは元の行列から取らなければなりません。

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解答：

行簡約でわかるのはどの列がピボット列かということです。その列は、階段形からではなく元の行列 $A$ から取らなければなりません。

行基本変形は列どうしの依存関係（どの列がほかの列の一次結合になっているか）を保ちますが、列ベクトルそのものは変えてしまいます。階段形の列が張る部分空間は、元の列が張る部分空間とは別物です。

答え：元の行列 $A$ の1列目と2列目です。

問3 · 複数ステップの推論

動画に出てきた次の行列を考えます。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

その階段形は $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ です。この行列の特殊解（零空間の基底ベクトル）はいくつあるでしょうか？

✅ 正解です！ 自由変数が 2 つ（3列目と4列目）あるので、特殊解はちょうど 2 つです。この 2 つが零空間の基底になります。

❌ 惜しい！ ピボットのない列を数えましょう。そうした列はそれぞれ自由変数に対応し、特殊解をちょうど 1 つ生みます。

解答を見る

解答：

階段形からピボットを見つけます。

1列目のピボット（1行目の 1）
2列目のピボット（2行目の −1）

したがって $\text{rank} = 2$ で、自由列は $n - r = 4 - 2 = 2$ 本（3列目と4列目）です。

自由変数 1 つにつき、特殊解がちょうど 1 つ得られます。

$x_3 = 1, x_4 = 0$ とおき、後退代入すると $\mathbf{s}_1 = (-1, -1, 1, 0)$
$x_3 = 0, x_4 = 1$ とおき、後退代入すると $\mathbf{s}_2 = (-1, 0, 0, 1)$

答え：2 つ。特殊解は自由変数 1 つにつき 1 つです。

問4 · 概念の理解

正しいか誤りか： $4 \times 6$ 行列の退化次数が 0 になることがある。

✅ 正解です！ 4×6 行列の階数は高々 4 なので、退化次数 ≥ 6 − 4 = 2 です。零空間は少なくとも 2 次元になります。

❌ 惜しい！ 階数の最大値を考えましょう。4行しかない行列に、ピボットが本当に 6 個もありうるでしょうか？階数 ≤ min(m, n) です。

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解答：

退化次数 = 0 だとすると、次元定理より $\text{rank}(A) + 0 = 6 \implies \text{rank}(A) = 6$

ところが $\text{rank}(A) \leq \min(m, n) = \min(4, 6) = 4$ です。4行しかない行列のピボットは高々 4 個です。

したがって $\text{rank}(A) = 6$ はありえず、退化次数 = 0 もありえません。実際、 $\text{nullity}(A) = 6 - \text{rank}(A) \geq 6 - 4 = 2$

$4 \times 6$ 行列の退化次数は、つねに $\geq 2$ です。

答え：誤り

正解数：0 / 4