一変数の微積分 · 第1回 · 動画2 · インタラクティブ教材

割線から接線へ：極限による微分係数の定義

I重要な公式

公式名称説明
Q=(x0+Δx, f(x0+Δx))Q = \big(x_0 + \Delta x,\ f(x_0 + \Delta x)\big)動く点PP は固定。QQ の位置は Δx\Delta x だけで決まる
Δf=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)PP から QQ までの縦の上がりQQ の高さから PP の高さを引いたもの
mPQ=ΔfΔxm_{PQ} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x}割線 PQPQ の傾き有限の幅での「縦の上がり ÷ 横の進み」
f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}極限による微分係数の定義x0x_0 における接線の傾き

ポイント：接線とは、Q→PQ \to P としたときの割線 PQPQ の極限です。QQ は x0+Δxx_0 + \Delta x の位置にあるので、Q→PQ \to P と言うのは Δx→0\Delta x \to 0 と言うのとまったく同じことです。左辺は幾何学、右辺は計算できる極限です。

II可視化1 — 割線が回転して接線になる

f(x)=14x2f(x) = \tfrac{1}{4}x^2 の上で QQ を PP に近づけていくと、割線の傾きはある1つの数 f′(2)f'(2) に落ち着きます。

III可視化2 — 「グラフと1点で交わる」ではなぜだめなのか

本物の接線でも、別の場所で曲線を横切ることがあります。接するかどうかは、PP のまわりだけで決まる局所的な条件です。

IV可視化3 — 公式を1ステップずつ組み立てる

ステップごとに図に記号を1つずつ割り当て、最後に f′(x0)f'(x_0) を定義する極限にたどり着きます。

ステップ1 — 2つの点を書き表す
P=(x0, f(x0))=(2, 1)P = \big(x_0,\ f(x_0)\big) = (2,\ 1)
Q=(x0+Δx, f(x0+Δx))=(3, 94)Q = \big(x_0 + \Delta x,\ f(x_0 + \Delta x)\big) = \big(3,\ \tfrac{9}{4}\big)

💡 Δx=0\Delta x = 0 では商が 00\tfrac{0}{0} になってしまうので、極限が求まるのは式の計算で Δx\Delta x という因数を約分してからです。ここでは Δx+14(Δx)2\Delta x + \tfrac14(\Delta x)^2 を Δx\Delta x でわりました。次回は、f(x)=1/xf(x) = 1/x で同じ約分を行います。

V確認クイズ

問1 · 割線の傾き

条件：f(x)=x2f(x) = x^2、P=(1,f(1))P = \big(1, f(1)\big)、Q=(1.5,f(1.5))Q = \big(1.5, f(1.5)\big) のとき、割線 PQPQ の傾きを求めてください。

✅ 正解です！Δf=2.25−1=1.25\Delta f = 2.25 - 1 = 1.25、Δx=0.5\Delta x = 0.5 なので、割線の傾きは 1.25/0.5=2.51.25 / 0.5 = 2.5 です。
❌ それは傾きではなく Δf\Delta f です。1.251.25 は縦の上がりだけです。傾きは縦の上がりを横の進みでわったものなので、Δx=0.5\Delta x = 0.5 でわります。
❌ それは割線の傾きではなく接線の傾きです。f′(1)=2f'(1) = 2 は極限の値です。有限の幅 Δx=0.5\Delta x = 0.5 では、割線のほうが急になります。
❌ 惜しい！33 はもう一方の端点 x=1.5x = 1.5 での接線の傾きです。まず Δf=f(1.5)−f(1)\Delta f = f(1.5) - f(1) を計算し、それから Δx\Delta x でわってください。
解答を見る

ここでは x0=1x_0 = 1、Δx=0.5\Delta x = 0.5 です。

Δf=f(x0+Δx)−f(x0)=(1.5)2−(1)2=2.25−1=1.25\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (1.5)^2 - (1)^2 = 2.25 - 1 = 1.25 ΔfΔx=1.250.5=2.5\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{1.25}{0.5} = 2.5

割線の傾き 2.52.5 は、両端点での接線の傾き f′(1)=2f'(1) = 2 と f′(1.5)=3f'(1.5) = 3 の間にあることに注目してください。有限の幅をとると、その間の急さが平均されるのです。

問2 · 直線が接線であるとはどういうことか

点 PP における ff のグラフの接線を正しく言い表しているのは、どの文ですか？

✅ 正解です！PP を固定し、QQ を動く点とします。接線とは、Q→PQ \to P のときに割線 PQPQ が近づいていく直線です。
❌ 交点の数では判定できません。可視化2で見たように、波打つ曲線では、PP における本物の接線でもグラフをさらに何度も横切ることがあります。
❌ 接線は曲線を横切ることがあります。変曲点では、接線はグラフをそのまま突き抜けます（可視化2の ff には、ドラッグできる範囲に変曲点が3つあります）。ですから「決して横切らない」は、接するということの意味ではありません。
❌ それは接線ではなく割線です。Δx≠0\Delta x \neq 0 を固定している限り、得られるのは異なる2点を通る直線です。接線には極限 Δx→0\Delta x \to 0 が必要です。
解答を見る

割線は、グラフ上の2点 PP と QQ を結ぶ直線です。PP を固定して QQ を PP に近づけると、割線は回転します。回転して行き着く直線が接線です。

P における接線=lim⁡Q→P(割線 PQ)P \text{ における接線} = \lim_{Q \to P} (\text{割線 } PQ)

ほかの言い表し方がだめな理由：

  • 「グラフと1点で交わる」と「決して横切らない」：振動する曲線上の点での接線は、ほかの多くの点でグラフと交わることがあります。また、変曲点での接線は、まさに PP で曲線を横切ります。
  • 「小さな固定した Δx\Delta x についての傾き Δf/Δx\Delta f / \Delta x」：これは割線の傾きです。f′(x0)f'(x_0) の近似にはなりますが、微分係数は、ある1つの小さな幅によってではなく、極限によって定義されます。

問3 · f(x)=3x2f(x) = 3x^2 に定義を当てはめる

条件：f(x)=3x2f(x) = 3x^2、x0=2x_0 = 2 のとき、差分商（平均変化率）f(2+Δx)−f(2)Δx\dfrac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x} を簡単にし、そのあと極限をとってください。

簡単にした差分商

f′(2)f'(2) の値

✅ 正解です！Δf=12 Δx+3(Δx)2\Delta f = 12\,\Delta x + 3(\Delta x)^2 なので、商は 12+3Δx12 + 3\Delta x です。Δx→0\Delta x \to 0 とすると f′(2)=12f'(2) = 12 が残ります。
❌ それは Δf/Δx\Delta f / \Delta x ではなく Δf\Delta f です。まだ Δx\Delta x でわる計算が残っています。しかも、両方の項をわります。
❌ 展開を確かめてください。3(2+Δx)2=12+12 Δx+3(Δx)23(2 + \Delta x)^2 = 12 + 12\,\Delta x + 3(\Delta x)^2 です。f(2)=12f(2) = 12 を引き、残ったすべての項を Δx\Delta x でわります。
❌ 極限を確かめてください。商を 12+3Δx12 + 3\Delta x まで簡単にしたら、Δx→0\Delta x \to 0 で消えるのは 3Δx3\Delta x の項だけです。
❌ Δf→0\Delta f \to 0 ですが、比はそうなりません。Δf\Delta f と Δx\Delta x はそろってゼロに縮みますが、その比はゼロでない数に落ち着きます。
❌ 微分係数は数であって、Δx\Delta x を含む式ではありません。極限をとる必要があります。簡単にした商に Δx=0\Delta x = 0 を代入してください。
解答を見る

ステップ1 — Δf\Delta f を具体的に書き出す：

Δf=3(2+Δx)2−3(2)2=3(4+4Δx+(Δx)2)−12\Delta f = 3(2 + \Delta x)^2 - 3(2)^2 = 3\big(4 + 4\Delta x + (\Delta x)^2\big) - 12 Δf=12+12 Δx+3(Δx)2−12=12 Δx+3(Δx)2\Delta f = 12 + 12\,\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 12 = 12\,\Delta x + 3(\Delta x)^2

ステップ2 — Δx\Delta x でわる（極限をとる過程では Δx≠0\Delta x \neq 0 なので、わってかまいません）：

ΔfΔx=12 Δx+3(Δx)2Δx=12+3Δx\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{12\,\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = 12 + 3\Delta x

ステップ3 — 極限をとる：

f′(2)=lim⁡Δx→0(12+3Δx)=12f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \big(12 + 3\Delta x\big) = 12

要は Δx\Delta x を約分することです。約分する前は、Δx=0\Delta x = 0 で商が 00\tfrac{0}{0} になります。約分したあとは、極限は代入するだけで求まります。

問4 · 割線から微分係数を読み取る

条件：関数 gg について、x0=1x_0 = 1 から測った割線の傾きは、Δx=0.1\Delta x = 0.1 で 6.316.31、Δx=0.01\Delta x = 0.01 で 6.03016.0301、Δx=0.001\Delta x = 0.001 で 6.0030016.003001 です。g′(1)g'(1) はいくつですか？

✅ 正解です！割線の傾きは 6+3Δx+(Δx)26 + 3\Delta x + (\Delta x)^2 で、Δx→0\Delta x \to 0 のときに近づいていく値は 66 です。
❌ それは極限ではなく、割線の傾きの1つです。並んでいる値はどれも有限の Δx\Delta x に対するものです。微分係数は、Δx→0\Delta x \to 0 のときにそれらの値が近づいていく数です。
❌ ゼロではありません。Δf\Delta f は 00 に向かって縮みますが、並んだ値を見ると、比 Δf/Δx\Delta f / \Delta x は 66 の近くで安定しています。
❌ 惜しい！きりのよい数からのはみ出し分を追ってみてください。0.310.31、0.03010.0301、0.0030010.003001 と、はみ出し分は消えていきます。
解答を見る

測った値を Δx\Delta x と並べてみます。

Δx=0.1⇒6.31,Δx=0.01⇒6.0301,Δx=0.001⇒6.003001\Delta x = 0.1 \Rightarrow 6.31, \qquad \Delta x = 0.01 \Rightarrow 6.0301, \qquad \Delta x = 0.001 \Rightarrow 6.003001

どの傾きも 66 に余りを足した形で、Δx\Delta x が10分の1になるたびに、余りもおよそ 1010 分の1に縮みます。実際、ここでの商はちょうど

ΔgΔx=6+3Δx+(Δx)2,\frac{\Delta g}{\Delta x} = 6 + 3\Delta x + (\Delta x)^2,

なので、6.31=6+0.3+0.016.31 = 6 + 0.3 + 0.01、6.0301=6+0.03+0.00016.0301 = 6 + 0.03 + 0.0001 です。Δx→0\Delta x \to 0 とすると、Δx\Delta x を含む項はすべて消えます。

g′(1)=lim⁡Δx→0(6+3Δx+(Δx)2)=6g'(1) = \lim_{\Delta x \to 0}\big(6 + 3\Delta x + (\Delta x)^2\big) = 6

微分係数は割線の傾きが収束する先の値であって、測った傾きのどれか1つではありません。

正解数：0 / 4