一変数の微積分 · 第1回 · 動画3 · インタラクティブ教材

1/x の導関数：先に約分、極限はそのあと

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$	導関数の定義	関数と基準点
$\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{\frac{1}{x_0 + \Delta x} - \frac{1}{x_0}}{\Delta x} = \dfrac{-1}{(x_0 + \Delta x)\,x_0}$	$1/x$ の差分商（約分後）	通分してから $\Delta x$ を約分する
$f'(x_0) = -\dfrac{1}{x_0^2}$	$1/x$ の導関数	極限 $\Delta x \to 0$

ポイント：最初に $\Delta x = 0$ を代入すると、必ず $\tfrac{0}{0}$ になります。定義そのものが、分子と分母が一緒に 0 になるように作られているからです。代数で先に $\Delta x$ を約分しなければなりません。そうして初めて、極限はただの代入になります。

II可視化1 — 割線が接線になる

$\Delta x$ を小さくしていくと、 $P$ と $Q$ を通る割線は $P$ における接線に変わります。

Δx 2.50

III可視化2 — 先に約分、代入はそのあと

1〜4行目はどれも同じ数ですが、 $\Delta x = 0$ を代入して意味をもつのは、そのうち最後の行だけです。

行 1 Δx 0.50

1 · 差分商

\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\dfrac{1}{x_0 + \Delta x} - \dfrac{1}{x_0}}{\Delta x}

2 · 通分

= \frac{1}{\Delta x}\left[\frac{x_0 - (x_0 + \Delta x)}{(x_0 + \Delta x)\,x_0}\right]

3 · x の項が打ち消し合う

= \frac{1}{\Delta x}\cdot\frac{-\Delta x}{(x_0 + \Delta x)\,x_0}

4 · 増分が約分される

= \frac{-1}{(x_0 + \Delta x)\,x_0}

5 · 極限をとる

f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{(x_0 + \Delta x)\,x_0} = -\frac{1}{x_0^2}

IV可視化3 — 双曲線から傾きを読み取る

右へ1進むと、接線はちょうど $1/x_0^2$ だけ下がります。いつも下向きで、0 になることはありません。

x₀ 3.0

💡 負の側の枝も同じ公式に従います。0 でないどんな $x_0$ でも $x_0^2$ は正なので、傾き $-1/x_0^2$ は双曲線の両方の枝で負になります。

V確認クイズ

問1 · 公式を当てはめる

条件： $f(x) = \dfrac{1}{x}$ のとき、 $f'(4)$ を求めてください。

✅ 正解です！

f'(x_0) = -1/x_0^2

なので、

x_0 = 4

での傾きは

-1/16 = -0.0625

です。緩やかなのは、

x = 4

までに双曲線がすでに平らになっているからです。

❌ 惜しい！ それは

-1/x_0

、つまり関数の値にマイナスをつけたものです。導関数では基準点が2乗されます。

-1/x_0^2

です。

❌ 大きさは正しく、符号が逆です。絶対値

1/16

は合っていますが、

-1/x_0^2

はどんな

x_0

でも負です。

x

が増えるにつれて、この枝は下がっていきます。

❌ 惜しい！

x_0 = 4

は、

x_0^2

だけでなく

f'(x_0) = -\dfrac{1}{x_0^2}

全体に代入してください。

解答を見る

定義から計算した $1/x$ の導関数は

f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2}.

$x_0 = 4$ では

f'(4) = -\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16} = -0.0625.

確かめが2つあります。符号は負（曲線は下がる）、絶対値は小さい（軸から遠いところでは曲線はほぼ平ら）です。

問2 · 代入してよいのはいつか

条件： $f(x) = \dfrac{1}{x}$ を微分する途中に現れる、互いに等しい4つの式。 $\Delta x = 0$ とおいたときに、不定形ではなく有限の数が得られる最初の式を求めてください。

✅ 正解です！ 前にある

\Delta x

が分子の

-\Delta x

と約分されて初めて、0 になるものがなくなります。

\dfrac{-1}{(x_0 + 0)x_0} = -\dfrac{1}{x_0^2}

です。

❌ 惜しい！ そこで

\Delta x = 0

とおくと

\dfrac{1/x_0 - 1/x_0}{0} = \dfrac{0}{0}

になります。この計算全体が避けようとしている落とし穴です。

❌ あと一歩、約分が1回足りません。分子は

-\Delta x

にまとまりましたが、因数

\dfrac{1}{\Delta x}

がまだ前に残っています。

\Delta x = 0

では

\dfrac{1}{0}\cdot 0

となり、まだ不定形です。

❌ 惜しい！ 因数

\dfrac{1}{\Delta x}

が残っている式は、

\Delta x = 0

で発散してしまいます。その因数が消えた行を探してください。

解答を見る

$\Delta x = 0$ が各行をどう変えるかを追ってみましょう。

(a) $\dfrac{1/x_0 - 1/x_0}{0} = \dfrac{0}{0}$ ：不定形です。

(b) $\dfrac{1}{0}\left[\dfrac{x_0 - x_0}{x_0 \cdot x_0}\right] = \dfrac{1}{0}\cdot 0$ ：不定形です。

(c) $\dfrac{1}{0}\cdot\dfrac{-0}{x_0 \cdot x_0} = \dfrac{1}{0}\cdot 0$ ：まだ不定形です。2つの $\Delta x$ は、まだ互いに約分されていません。

(d) $\dfrac{-1}{(x_0 + 0)\,x_0} = -\dfrac{1}{x_0^2}$ ：有限です。0 になるものも、発散するものもありません。

いつもの型：差分商を作り、 $\Delta x$ が約分されるまで代数で変形し、そのあとでただの代入として極限をとります。

問3 · 双曲線の接線

条件：曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ 上の $x_0 = 2$ の点。そこでの接線の傾きと、 $y = mx + b$ の形での $y$ 切片を求めてください。

傾きは？

y 切片は？

✅ 正解です！ 接線は

y = -\tfrac{1}{4}x + 1

で、曲線と

\left(2, \tfrac{1}{2}\right)

で接します。

❌ 傾きを確かめてください。接線の傾きは

f'(2) = -1/2^2

です。高さ

f(2) = 1/2

でも、

-1/x_0

でもありません。

❌ 大きさは正しく、符号が逆です。絶対値

\tfrac{1}{4}

は合っていますが、

f'(x_0) = -1/x_0^2

はどんな

x_0

でも負です。

x

が増えるにつれて、この枝は下がっていきます。

❌ それは $-x_0$ です。基準点を使わずに、マイナスをつけただけになっています。導関数では基準点を2乗して逆数をとります。

f'(2) = -1/2^2 = -\tfrac{1}{4}

です。

❌ 切片を確かめてください。

y - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{4}(x - 2)

から始め、展開してから定数をまとめましょう。

❌ その接線は原点を通ってしまいます。

y = -\tfrac{1}{4}x

では

x = 2

での高さが

-\tfrac{1}{2}

になりますが、接線は高さ

+\tfrac{1}{2}

で曲線に接していなければなりません。

❌ 定数をまとめるときの符号ミスです。展開すると

y = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}

となり、2つの二分の一を足すと、

-1

ではなく

+1

になります。

解答を見る

ステップ1：接点。 $f(2) = \dfrac{1}{2}$ なので、接線は $\left(2, \tfrac{1}{2}\right)$ で接します。

ステップ2：傾き。

m = f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}

ステップ3：点と傾きによる直線の方程式を書き、 $y$ について解く。

y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)

y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}

y = -\frac{1}{4}x + 1

よって $m = -\tfrac{1}{4}$ 、 $b = 1$ です。

検算： $x = 2$ では $y = -\tfrac{1}{4}(2) + 1 = -\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2}$ ✅ 接線は接点を通っています。

問4 · 公式を逆にたどる

条件： $f(x) = \dfrac{1}{x}$ と、接線の傾きが $-4$ になる $x_0 > 0$ の点。 $x_0$ を求めてください。

✅ 正解です！

-1/x_0^2 = -4

から

x_0^2 = \tfrac{1}{4}

、よって

x_0 = \tfrac{1}{2}

です。軸の近く、ちょうど公式が急降下を予言する場所です。

❌ 惜しい！ それは

1/x_0 = 4

の解です。導関数は

-1/x_0^2

なので、解くべき方程式は

x_0^2 = \tfrac{1}{4}

です。

❌ 逆数が逆になっています。

1/x_0^2 = 4

からは

x_0^2 = 4

ではなく

x_0^2 = \tfrac{1}{4}

が出ます。絶対値

4

の傾きには、

x_0 = 1

より内側の点が必要で、外側ではありません。

❌ 惜しい！

-\dfrac{1}{x_0^2} = -4

とおき、分母を払って、正の平方根をとってください。

解答を見る

導関数を、求められている傾きに等しいとおきます。

-\frac{1}{x_0^2} = -4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x_0^2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x_0^2 = \frac{1}{4}

$x_0 > 0$ なので

x_0 = \frac{1}{2}.

検算： $f'\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{(1/2)^2} = -\dfrac{1}{1/4} = -4$ ✅

$x_0 \to 0$ のとき $1/x_0^2$ は限りなく大きくなるので、どんなに急な負の傾きも、この枝の上でちょうど1回ずつ現れます。そして、緩やかな傾きはどれも、ずっと右の方で現れます。

正解数：0 / 4