一変数の微積分 · 第1回 · 動画4 · インタラクティブ教材

1/x の接線と、面積がいつも2になる三角形

I重要な公式

公式	名称	必要なもの
$y - y_0 = -\dfrac{1}{x_0^2}\,(x - x_0)$	$y = 1/x$ の接線：式 $(*)$	点と傾きによる直線の方程式と、傾き $f'(x_0) = -1/x_0^2$
$x\text{ 切片} = 2x_0$	三角形の底辺	$y_0 = 1/x_0$ を使い、 $(*)$ に $y = 0$ を代入する
$y\text{ 切片} = 2y_0 = \dfrac{2}{x_0}$	三角形の高さ	$(*)$ に $x = 0$ を代入する。または底辺の結果で $x \leftrightarrow y$ を入れ替える
$A = \tfrac{1}{2}(2x_0)(2y_0) = 2x_0y_0 = 2$	接線がつくる三角形の面積	2つの切片と $x_0y_0 = 1$

ポイント：この問題で微積分と言えるのは、ちょうど1行、傾き $-1/x_0^2$ だけです。点と傾きによる直線の方程式、分母を払うこと、 $xy = 1$ の対称性、 $\tfrac{1}{2}bh$ は、どれもこの講座より前に学んだものです。そして、自由に選んだ $x_0$ は最終的な答えから約分されて消えます。

II決して変わらない三角形

接点は自由に選べるのに、 $y = 1/x$ のどの接線も同じ面積を切り取ります。

接点 x₀ 1.25

💡 $y = c/x$ で同じ計算をすると、接線がつくる三角形はすべて面積 $2c$ になります。この曲線は $c = 1$ の場合です。

III2つの切片はどこから来るのか

微積分の一歩が傾きを与え、あとは代数だけで切片 $2x_0$ と $2y_0$ が出てきます。

ステップ 1

ステップ1：唯一の微積分、傾き

x_0 = 2

では、接点は

(x_0, y_0) = \left(2, \tfrac{1}{2}\right)

で、

f'(x_0) = -\dfrac{1}{x_0^2} = -\dfrac{1}{4}

です。

(*)\qquad y - \tfrac{1}{2} = -\tfrac{1}{4}(x - 2)

ステップ2：底辺。 $y = 0$ とおく

x

軸とは直線

y = 0

のことです。また、接点は曲線の上にあるので

y_0 = 1/x_0

です。

0 - \frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}\,(x - x_0)

ステップ3：分母を払う

-\frac{1}{x_0} = -\frac{1}{x_0^2}\,x + \frac{1}{x_0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x_0^2}\,x = \frac{2}{x_0}

x = x_0^2\cdot\frac{2}{x_0} = 2x_0 = 4

ステップ4：高さは計算なしで

y = 1/x

と

x = 1/y

は同じ方程式

xy = 1

なので、図は直線

y = x

に関して自分自身と対称です。正しい式はすべて、入れ替え

x \leftrightarrow y

をしても正しいままです。

x = 2x_0 \quad\longrightarrow\quad y = 2y_0 = \frac{2}{x_0} = 1

ステップ5：底辺 × 高さの半分

A = \tfrac{1}{2}(2x_0)(2y_0) = 2x_0y_0 = 2x_0\cdot\frac{1}{x_0} = 2

ここでは

\tfrac{1}{2}(4)(1) = 2

です。答えには

x_0

が残りません。

IV1つの文字、2つの対象

同じ文字 $y$ が、ある式では双曲線を、その2行あとでは横軸を表しています。

V確認クイズ

問1 · 切片を読み取る

条件： $y = \dfrac{1}{x}$ の、 $x_0 = 4$ の点における接線。この接線が2本の座標軸と交わる点を求めてください。

✅ 正解です！ どちらの切片も、接点の座標の2倍です。

2x_0 = 8

、

2y_0 = \tfrac{1}{2}

なので、面積は

\tfrac{1}{2}(8)\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2

です。

❌ 惜しい！ それは接点の座標を、そのまま軸の上に落としたものです。

(*)

を

y = 0

として解くと、交点は2倍遠くの

x = 2x_0

になります。

❌ 惜しい！ 底辺は

x

軸の上にあり、

2x_0 = 8

でなければなりません。直角をはさむ2辺が入れ替わっています。入れ替えたものは、

x_0 = 4

ではなく

x_0 = \tfrac{1}{4}

での接線の三角形です。

❌ 惜しい！

y - \tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{16}(x - 4)

に

y = 0

を代入して

x

について解いてください。傾き

-1/x_0^2

は1回使うだけで、さらに2乗はしません。

解答を見る

$x_0 = 4$ では $y_0 = \tfrac{1}{4}$ 、 $f'(4) = -\dfrac{1}{4^2} = -\dfrac{1}{16}$ なので

(*)\qquad y - \tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{16}(x - 4)

$x$ 切片： $y = 0$ とおきます。

-\tfrac{1}{4} = -\tfrac{1}{16}x + \tfrac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{16}x = \tfrac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 8 = 2x_0

$y$ 切片： $x = 0$ とおきます。

y = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{16}(4) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2} = 2y_0

面積 $= \tfrac{1}{2}(8)\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2$ で、予想どおりです。

問2 · 符号がひそむのは傾き

条件：曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ 上の $x_0 = \tfrac{1}{2}$ の点。そこでの接線の方程式を、点と傾きによる形で求めてください。

✅ 正解です！

y_0 = 1/x_0 = 2

、

f'\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{(1/2)^2} = -4

です。

x_0

が小さいと接線はとても急になり、細くて背の高い三角形になります。

❌ 惜しい！

-1/x_0^2

ではなく

-1/x_0

を使っています。先に2乗すると

(1/2)^2 = 1/4

で、

-1/(1/4) = -4

です。

❌ 符号を確かめてください。双曲線は第1象限全体で右下がりなので、そこでの接線の傾きはすべて負です。

-1/x_0^2 < 0

です。

❌ 惜しい！ 座標が入れ替わっています。接点は

(x_0, y_0) = \left(\tfrac{1}{2}, 2\right)

なので、

x_0 = \tfrac{1}{2}

は

x

の側に入ります。

❌ 惜しい！ 点

(x_0, y_0) = \left(\tfrac{1}{2}, 2\right)

と傾き

-1/x_0^2

から直線を組み立ててください。

解答を見る

ステップ1：接点。接点は曲線の上にあるので $y_0 = \dfrac{1}{x_0} = \dfrac{1}{1/2} = 2$ で、接点は $\left(\tfrac{1}{2},\, 2\right)$ です。

ステップ2：傾き（微積分の中身はこれですべてです）

f'\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\frac{1}{(1/2)^2} = -\frac{1}{1/4} = -4

ステップ3：点と傾きによる直線の方程式

y - 2 = -4\left(x - \tfrac{1}{2}\right)

切片で検算： $y = 0$ とおくと $x = 1 = 2x_0$ 、 $x = 0$ とおくと $y = 4 = 2y_0$ です。面積 $= \tfrac{1}{2}(1)(4) = 2$ ✅

問3 · 議論を逆にたどる

条件： $y = \dfrac{1}{x}$ の第1象限の枝に引いた接線が、 $x$ 軸と $x = 6$ で交わる。その接点と、接線が切り取る三角形の高さを求めてください。

接線が曲線に接する点は？

三角形の高さは？

✅ 正解です！

2x_0 = 6

から

x_0 = 3

、よって

y_0 = \tfrac{1}{3}

で、高さは

2y_0 = \tfrac{2}{3}

です。そして約束どおり

\tfrac{1}{2}(6)\left(\tfrac{2}{3}\right) = 2

になります。

❌ 接点を確かめてください。切片は

x_0

ではなく

2x_0

です。

x

切片が

6

なら

x_0 = 3

で、そこから

y_0 = 1/x_0

です。

❌ 高さを確かめてください。高さは

y

切片

2y_0

です。接点の高さ

y_0

の2倍で、

y_0

そのものではありません。

解答を見る

ステップ1：底辺の公式を逆に使う。このような接線の $x$ 切片はいつも $2x_0$ なので

2x_0 = 6 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = 3

ステップ2：点を曲線の上にとる。 $y_0 = \dfrac{1}{x_0} = \dfrac{1}{3}$ なので、接点は $\left(3, \tfrac{1}{3}\right)$ です。

ステップ3：高さは $y$ 切片です。

2y_0 = \frac{2}{x_0} = \frac{2}{3}

接線で検算。傾きは $-\dfrac{1}{3^2} = -\dfrac{1}{9}$ なので、 $y - \tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{9}(x - 3)$ です。 $x = 0$ とおくと $y = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}$ ✓、 $y = 0$ とおくと $x = 6$ ✓ です。

面積 $= \tfrac{1}{2}(6)\left(\tfrac{2}{3}\right) = 2$ です。

問4 · 族全体 $y = c/x$

条件： $c > 0$ の曲線 $y = \dfrac{c}{x}$ で、どの接線も面積 $10$ の三角形を切り取る。 $c$ を求め、さらに切片を1つ求めてください。

$c$ は？

その曲線で、 $x_0 = 3$ における接線が $x$ 軸と交わる点は？

✅ 正解です！ 面積

= 2c

から

c = 5

です。一方、底辺

2x_0 = 6

は

c

に関係しません。曲線を縦に伸ばすと高さは動きますが、

x

切片は決して動きません。

❌ 定数を確かめてください。

y = c/x

で同じ計算をすると、底辺は

2x_0

、高さは

2c/x_0

なので、面積は

\tfrac{1}{2}(2x_0)\left(\tfrac{2c}{x_0}\right) = 2c

です。これを

10

とおきましょう。

❌ 底辺を確かめてください。底辺の計算では

c

が完全に約分されて消えます。

x

切片は、

c

がどんな値でも

2x_0

です。

解答を見る

ステップ1：定数をつけたまま計算し直す。同じ差分商を $c$ をつけたまま計算すると $f'(x_0) = -\dfrac{c}{x_0^2}$ 、また $y_0 = \dfrac{c}{x_0}$ なので

y - \frac{c}{x_0} = -\frac{c}{x_0^2}(x - x_0)

ステップ2：切片。 $y = 0$ とおくと

-\frac{c}{x_0} = -\frac{c}{x_0^2}x + \frac{c}{x_0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{c}{x_0^2}x = \frac{2c}{x_0} \quad\Longrightarrow\quad x = 2x_0

$c$ は約分されて消えます。 $c$ が何であっても、底辺は $2x_0$ です。 $x = 0$ とおくと $y = \dfrac{2c}{x_0} = 2y_0$ です。

ステップ3：面積

A = \tfrac{1}{2}(2x_0)\left(\frac{2c}{x_0}\right) = 2c

ステップ4：両方に答える。 $2c = 10$ から $c = 5$ です。 $x_0 = 3$ での $x$ 切片は $2x_0 = 6$ です（そこでの高さは $\tfrac{2(5)}{3} = \tfrac{10}{3}$ で、 $\tfrac{1}{2}(6)\left(\tfrac{10}{3}\right) = 10$ ✓）。

正解数：0 / 4