一変数の微積分 · 第1回 · 動画5 · インタラクティブ教材

微分の記法とべき関数の微分公式

I重要な公式

公式名称説明
ΔyΔx=ΔfΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}差分商Δx\Delta x の幅での平均の傾き
f′(x0),y′f'(x_0), \quad y'プライム記法基準点を書き込める：f′(x0)f'(x_0)
dydx=dfdx=ddxf=ddxy\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{d}{dx}f = \dfrac{d}{dx}yライプニッツの記法同じ導関数。基準点は省かれる
(x+Δx)n=xn+n(Δx)xn−1+O((Δx)2)(x + \Delta x)^n = x^n + n(\Delta x)x^{n-1} + O\big((\Delta x)^2\big)二項展開大事なのは最初の2項、残りはゴミ
ddxxn=nxn−1\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}べき関数の微分公式正の整数乗をすべて一度に

ポイント：たった1度の計算で、正の整数乗がすべて微分できます。したがって、どんな多項式も項ごとに微分できます。

II可視化1 — 1つの導関数、たくさんの名前

プライム記法とライプニッツの dy/dxdy/dx は、y=x2y = x^2 のどの点でも同じ数を示します。

💡 数学では、こういうことがよくあります。記法が大事なことを省き、読む人がそれを文脈から補うことになっているのです。

III可視化2 — 係数 nn はどこから来るのか

nn 個ある (x+Δx)n(x + \Delta x)^n の因数は、それぞれ自分の xx か Δx\Delta x のどちらかを項に差し出します。

IV可視化3 — ゴミが消える理由

差分商は nxn−1nx^{n-1} にゴミを足したもので、ゴミの項はどれも、まだ因数 Δx\Delta x を含んでいます。

💡 二項定理そのものに極限は必要ありません。どんな Δx\Delta x についても正確に成り立ちます。ゴミが消えたのは、私たちが Δx→0\Delta x \to 0 とすることを選んだからです。

V確認クイズ

問1 · べき関数の微分公式をそのまま使う

条件：y=x7y = x^7 のとき、dydx\dfrac{dy}{dx} を求めてください。

✅ 正解です！ 指数が係数として前に下り、累乗の指数は1つ下がります：7x67x^6。
❌ 惜しい！ 指数は係数として前に下りていますが、累乗の指数も1つ下げなければなりません。
❌ 惜しい！ 指数は正しく下がっていますが、係数は新しい指数ではなく、元の指数 n=7n = 7 です。
❌ それは原始関数です。 指数が 88 に上がり、係数が 1/(n+1)1/(n+1) になっています。微分では指数は逆向きに動き、66 に下がって、元の 77 が前に出ます。
❌ 惜しい！ べき関数の微分公式は xnx^n を nxn−1nx^{n-1} に移します。指数が前に下り、累乗の指数は1つ減ります。
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ddxxn=nxn−1\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} を n=7n = 7 として使います：

ddxx7=7x7−1=7x6\frac{d}{dx}x^7 = 7x^{7-1} = 7x^6

2つの動きが同時に起こります。77 が弧を描いて前に下り、指数は 66 になります。

問2 · 導関数の名前でないのはどれか

条件：y=f(x)y = f(x)。導関数の別名ではない式はどれですか？

✅ 正解です！ ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} は差分商です。導関数は、Δx→0\Delta x \to 0 としたときのその極限です。
❌ 惜しい！ これは、関数を分数の外に下ろしたライプニッツの書き方です。ddxy\dfrac{d}{dx}y は dydx\dfrac{dy}{dx} とまったく同じ意味です。
❌ 惜しい！ プライム記法では f′(x0)f'(x_0) と y′y'、ライプニッツの記法では dydx\dfrac{dy}{dx}、dfdx\dfrac{df}{dx}、ddxf\dfrac{d}{dx}f、ddxy\dfrac{d}{dx}y と書きます。6つとも同じものを表しています。
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y=f(x)y = f(x) なので、出力の変化量には Δy=Δf\Delta y = \Delta f という2つの名前があり、したがって差分商にも2つの名前があります：

ΔyΔx=ΔfΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

これは有限の幅 Δx\Delta x での平均の傾きで、幅の大きさによってまだ変わる数です。極限をとってはじめて、導関数の名前が現れます：

lim⁡Δx→0ΔfΔx=f′(x0)lim⁡Δx→0ΔyΔx=dydx=dfdx=ddxf=ddxy\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} = f'(x_0) \qquad \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}f = \frac{d}{dx}y

プライム記法では、基準点を明示するときは f′(x0)f'(x_0)、文脈に任せるときは y′y' と書きます。つまり y′y' は、ライプニッツの書き方とまったく同じように点を省いています。

したがって、この中で導関数でないのは ΔyΔx\dfrac{\Delta y}{\Delta x} だけです。また、dydx\dfrac{dy}{dx} は2つの小さな数の分数ではないことにも注意しましょう。この段階では、極限を表す1つの記号であって、約分してよい比ではありません。

問3 · 多項式を項ごとに微分する

条件：y=4x5+x12y = 4x^5 + x^{12} のとき、dydx\dfrac{dy}{dx} を求めてください。

✅ 正解です！ 最初の項は 5⋅4=205 \cdot 4 = 20、2つ目の項には定数がまったく必要ありません。
❌ 惜しい！ 定数 44 はそのままついてきて、指数にかけられます。係数は 4⋅54 \cdot 5 で、44 ではありません。
❌ あと一歩です。 最初の項は正しいのですが、2つ目の項の指数は 1212 から 1111 に下がらなければなりません。
❌ 惜しい！ 4x54x^5 では、指数 55 が、もともとあった 44 と並んで前に下ります。44 が消えるわけではありません。
❌ 惜しい！ ddxxn=nxn−1\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} を使って項ごとに微分し、定数の因数はすべて残しましょう。
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最初の項。 x5x^5 にべき関数の微分公式を使うと 5x45x^4 になり、定数 44 はそのままついてきます：

ddx 4x5=4⋅5x4=20x4\frac{d}{dx}\,4x^5 = 4 \cdot 5x^4 = 20x^4

2つ目の項。 x12x^{12} にべき関数の微分公式を使います：

ddx x12=12x11\frac{d}{dx}\,x^{12} = 12x^{11}

合わせると：

dydx=20x4+12x11\frac{dy}{dx} = 20x^4 + 12x^{11}

極限も、差分商も、二項定理もいりません。べき関数の微分公式が、見ただけで全部やってくれました。

問4 · 抜けている基準点を補う

条件：y=x4y = x^4 のとき、dydx\dfrac{dy}{dx} の x=−2x = -2 での値を求めてください。

✅ 正解です！ dydx=4x3\dfrac{dy}{dx} = 4x^3 で、4(−2)3=4(−8)=−324(-2)^3 = 4(-8) = -32 です。
❌ 惜しい！符号を確かめましょう。 奇数乗ではマイナスの符号が残ります：(−2)3=−8(-2)^3 = -8 で、+8+8 ではありません。
❌ 惜しい！ それは x3x^3 の x=−2x = -2 での値です。べき関数の微分公式では、指数 44 も前に出ます。
❌ 惜しい！ 指数は係数として前に下りていますが、累乗の指数が下がっていません。これは 4x44x^4 の値で、4x34x^3 の値ではありません。
❌ 惜しい！ まず微分し、それから導関数に x=−2x = -2 を代入しましょう。
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ステップ1 — 微分する。 n=4n = 4 としてべき関数の微分公式を使います：

dydx=ddxx4=4x3\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}x^4 = 4x^3

ステップ2 — 基準点を補う。 ライプニッツの dydx\dfrac{dy}{dx} は、どこで導関数の値をとるのかを示さないので、問題のほうでそれを示す必要があります：x=−2x = -2 で値を求めます。

4(−2)3=4(−8)=−324(-2)^3 = 4(-8) = -32

プライム記法では点が記号そのものに組み込まれているので、念を押す必要はありません：

f′(−2)=−32f'(-2) = -32

傾きは負で、これは筋が通っています。原点の左側では、y=x4y = x^4 は減少しているからです。

正解数：0 / 4