1/x の導関数：先に約分、極限はそのあと

$f(x)=1/x$ の $x_0$ における差分商を書き、$\Delta x=0$ とおくとすぐに $0/0$ になることを書き留めましょう。そのうえで、共通の分母 $(x_0+\Delta x)x_0$ で通分し、$1/\Delta x$ を前にくくり出しましょう。

分子を $-\Delta x$ までまとめ、その $\Delta x$ を前の因数と約分して $-1/[(x_0+\Delta x)x_0]$ にたどり着き、$\Delta x=0$ とおいて $-1/x_0^2$ を得ましょう。

$f'(x_0)$ がどこでも負で右下がりの接線と合っていること、そして $x_0\to\infty$ のときその絶対値が小さくなり、平らになっていく曲線と合っていることを書き留めましょう。