1/x の接線と、面積がいつも2になる三角形

第一象限の双曲線と、座標軸を切る接線をかき、点を $(x_0,y_0)$ とラベルづけして、微積分の中身のすべてとして接線 $y-y_0=\frac{-1}{x_0^2}(x-x_0)$ を書きましょう。

$y=0$ とおき、$y_0=1/x_0$ を使って代数を実行して $x=2x_0$ を求め、次に $y=2y_0$ を入れ替えの対称性 $y=1/x \iff xy=1 \iff x=1/y$ から求めましょう。$x=0$ とおいても求められることも書き留めましょう。

$\frac{1}{2}(2x_0)(2y_0)=2x_0y_0=2$ を計算し、答えが $x_0$ によらないことを書き留め、$y=c/x$ では一定の面積 $2c$ になることにも触れましょう。

ここでは $x$、$y$、$x_0$、$y_0$ がすべて同時に登場し、$y$ が $y_0=1/x_0$ では曲線を、$y=0$ では水平な直線を意図的に表していることを書き留めましょう。