正規方程式

$m > n$ で測定に雑音がある状況を書き留め、$A^TA\hat{\mathbf{x}} = A^T\mathbf{b}$ を書きましょう。これは $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ の両辺に $A^T$ を掛けて得られます。

両方の性質を書き、$A^TA$ の転置をとって対称性を示しましょう。さらに $A^TA$ を、列が $(1,1,1)$ と $(1,2,5)$ の行列について作り、成分 $3, 8, 8, 30$ にたどり着きましょう。

$A^TA$ と $A$ の零空間が等しいことを書き、そこから $\text{rank}(A^TA) = \text{rank}(A)$ が導かれることを書き留めましょう。

$A^TA$ が可逆になるのはちょうど $A$ の列が一次独立のときであることを書き、列が $(1,1,1)$ と $(3,3,3)$ の階数 1 の行列で、$A^TA$ が特異になる例を計算しましょう。