正定値行列

対称な $2\times2$ 行列について、4 つの判定法をすべて書き出しましょう。固有値が正であること、$a>0$ かつ $ac-b^2>0$ であること、ピボット $a$ と $(ac-b^2)/a$ が正であること、そして 0 でないすべての $x$ に対して $x^TAx>0$ であることです。

0 でないすべての $x$ に対して $x^TAx>0$ となることを定義とし、固有値・行列式・ピボットの条件はそこから導かれる判定法であることを書き留めましょう。

$c=7$、$c=18$、$c=20$ のそれぞれについて、行列式・ピボット・二次形式による判定を行い（不定値のケースでは試しのベクトル $x=(1,-1)$ も使います）、それぞれの判定結果を書き留めましょう。

半正定値のケース $c=18$ について、固有値が $0$ と $20$ であること、ピボットが 1 つしかないこと、行列式が 0 であることを書き、それが正定値と不定値のあいだのどこに位置するかを書き留めましょう。