A = LU 分解

行の入れ替えを必要としない行列について、この分解を書きましょう。$L$ は対角成分が 1 の下三角行列、$U$ は対角線上にピボットが並ぶ上三角行列です。

行が $(2,1)$ と $(8,7)$ の行列で消去を行い、$E_{21}$ の逆行列をとって $L$（対角線の下に $4$ が入る）を求め、$LU$ を掛けて $A$ に戻ることを確かめましょう。

連鎖 $E_{32}E_{31}E_{21}A = U$ と、その逆行列をとった形 $A = E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}U$ を書き、乗数 $2$ と $5$ がそのままの位置に収まる様子と、成分 $10$ が位置 $(3,1)$ に現れる様子を対比しましょう。

$A = LDU'$ を書き留めましょう。ピボットを $D$ に取り出すと、残る二つの対角成分はどちらも 1 になります。同じ例では、$D$ の成分は $2$ と $3$ です。