固有値とフィボナッチ数列

$u_0 = c_1x_1 + \cdots + c_nx_n = Sc$ と書き、$A$ を一回掛けて各項がそれぞれの $\lambda_i$ を拾うことを確かめ、$u_k = \sum c_i\lambda_i^k x_i = S\Lambda^k c$ を導きましょう。

$u_k = (F_{k+1}, F_k)^T$ とおき、当たり前の式 $F_{k+1} = F_{k+1}$ を $F_{k+2} = F_{k+1} + F_k$ と組にして、1 行目が $(1,1)$、2 行目が $(1,0)$ の行列を書き留めましょう。

$\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - \lambda - 1$ を計算して解の公式で解き、根をトレース $1$ と行列式 $-1$ で確かめ、$x = (\lambda, 1)^T$ を書き留めましょう。

$F_k \approx c_1\lambda_1^k$（$\lambda_1 \approx 1.618$）と書いて $\lambda_2 \approx -0.618$ の項が縮んで消えることを示し、そのうえで $u_0 = (1,0)^T = c_1x_1 + c_2x_2$ を解いて定数を求めましょう。