固有値で du/dt = Au を解く

$u = e^{\lambda t}x$ を $\frac{du}{dt} = Au$ に代入し、左辺を微分し、右辺を整理して、両辺が一致するのはちょうど $Ax = \lambda x$ のときであることを書き留めましょう。

行列 $A$（行は $(-1, 2)$ と $(1, -2)$）について、特異であることから $\lambda_1 = 0$、トレースから $\lambda_2 = -3$ を求め、$\det(A - \lambda I)$ で確かめて、$x_1 = (2, 1)$、$x_2 = (1, -1)$ を求めましょう。

一般の一次結合を書き、$u(0) = (1, 0)$ を課して定数についての $2\times2$ の連立方程式を立て、それを解いて $c_1 = c_2 = \frac{1}{3}$ を得ましょう。

$\lambda = 0$ の項は一定で、$e^{-3t}$ の項は消えていくことを書き留め、定常状態 $u(\infty) = \frac{1}{3}(2, 1)$ を書きましょう。