階数 r の m × n 行列に備わる四つの基本部分空間の次元は、なぜ m、n、r だけで決まるのでしょうか。
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行列の四つの基本部分空間
C(A)C(A)C(A)、N(A)N(A)N(A)、C(AT)C(A^T)C(AT)、N(AT)N(A^T)N(AT) の定義
m×nm \times nm×n 行列について4つの部分空間をそれぞれ定義し、それぞれが Rm\mathbb{R}^mRm と Rn\mathbb{R}^nRn のどちらの中にあるかを書き留め、ATy=0A^Ty=0ATy=0 を転置して yTA=0Ty^TA=0^TyTA=0T にしましょう。
次元 rrr、n−rn-rn−r、rrr、m−rm-rm−r
4つの部分空間の次元の表を書き、Rn\mathbb{R}^nRn の中にある組は足すと nnn、Rm\mathbb{R}^mRm の中にある組は足すと mmm になることを書き留めましょう。
行空間と列空間は同じ次元 rrr をもつ
どちらの次元も階数に等しいことを述べ、(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)、(2,2,5)(2,2,5)(2,2,5)、(3,3,8)(3,3,8)(3,3,8) の例で、同じ行が2つあるために列が一次従属になることを確かめましょう。