積の法則と転置の性質

積の法則を書き、$A^{-1}A = I$ から $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$ を、積の法則そのものから $\det(A^2) = (\det(A))^2$ を導きましょう。

このスカラー倍の結果を書き、それを生む $n$ 個の行ごとの因子 $2$ を数え、箱のすべての辺を2倍にするという体積のたとえを書き留めましょう。

$A = LU$ と $A^{T} = U^{T}L^{T}$ から出発する証明の概略を再現しましょう。$\det(L) = \det(L^{T}) = 1$ と、$U$ と $U^{T}$ の対角成分が共通であることを使います。

そこから得られる列の版を並べましょう。零列があれば行列式は 0、2つの列を入れ替えると符号が反転し、行列式は各列についてそれぞれ線形です。