行列の指数関数 e^(At)

$u = Sv$ を代入し、対角な系 $\frac{dv}{dt} = \Lambda v$（$\Lambda = S^{-1}AS$）に帰着させ、各 $\frac{dv_i}{dt} = \lambda_i v_i$ を解き、元に戻して $u(t) = Se^{\Lambda t}S^{-1}u(0)$ を得ましょう。

$I + At + \frac{(At)^2}{2!} + \frac{(At)^3}{3!} + \cdots$ をスカラーの $e^x$ の級数と並べて書き、階乗のおかげで、どんな $A$ とどんな $t$ に対しても収束することを書き留めましょう。

級数の各項に $A = S\Lambda S^{-1}$ を代入し、各べき乗で内側の因子を打ち消して $S$ と $S^{-1}$ を外にくくり出し、$e^{\Lambda t}$ を $e^{\lambda_i t}$ を並べた対角行列として書きましょう。

$(I - At)^{-1} = I + At + (At)^2 + \cdots$ を、$t$ が小さいときの近似 $I + At$ とともに書き、収束の条件、つまり $At$ のすべての固有値が $|\lambda| < 1$ を満たすことを書き留めましょう。