相補的な射影 P と I − P

$b = Ax$ を $P = A(A^TA)^{-1}A^T$ に代入し、$A^TA$ をその逆行列と打ち消し合わせましょう。次に $A^Tb = 0$ となる $b$ をとり、積が 0 になるところまで計算しましょう。

$I-P$ もそれ自体が射影で、列空間の直交補空間への射影であることを書き、2つの行列がそれぞれ $b$ のどの部分を返すかを書き留めましょう。

射影行列を特徴づける2つの代数的性質を書き、$(I-P)^2 = I-P$ と $(I-P)^T = I-P$ も成り立つことを確かめましょう。