基底と次元

基底とは一次独立であり、かつ空間を張る組であることを述べ、$(1,1,2)$、$(2,3,5)$、$(3,3,8)$ が $\mathbb{R}^3$ の基底になるかを、それらが作る $3 \times 3$ 行列の可逆性で調べましょう。

$(1,1,2)$ と $(2,3,5)$ は $\mathbb{R}^3$ を張らないが、それ自身が張る平面の基底にはなること、そして $(3,4,7)$ を加えると一次独立性が失われることを書き留めましょう。

一つの空間のすべての基底は同じ本数のベクトルを含むという定理を書き、その共通の本数を次元と定義して、$\dim \mathbb{R}^n = n$ であることを書き添えましょう。

次元が $d$ だとわかっている空間では、一次独立な $d$ 本のベクトルは自動的に空間を張って基底になり、確かめるのは一次独立性だけで済むことを書き留めましょう。