対称行列の固有値が実数である理由

証明をたどりましょう。$Ax = \lambda x$ の共役をとって転置し、$A^T = A$ を代入して右から $x$ を掛け、$\bar{x}^T A x = \lambda \bar{x}^T x$ と比べて $\lambda = \bar{\lambda}$ を導きます。

$\bar{x}^T x = \bar{x}_1 x_1 + \cdots + \bar{x}_n x_n$ と展開し、一つの項を $(a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2$ と整理して、ゼロでない $x$ に対して和が正になることを書きましょう。

対称性の条件の複素数版を書き留め、$A^T$ の代わりに $\bar{A}^T$ を使えば同じ論法がそのまま通ることを書きましょう。