長方行列に消去法を行うと、階数、ピボット列、自由列はどのように明らかになるのでしょうか。
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長方行列の消去法：階数と自由変数
ピボットの位置の 0 を越えて進む消去法
3×43 \times 43×4 行列（行は (1,2,2,2)(1,2,2,2)(1,2,2,2)、(2,4,6,8)(2,4,6,8)(2,4,6,8)、(3,6,8,10)(3,6,8,10)(3,6,8,10)）に消去法を行い、2列目を飛ばして次のピボットへ進み、階段形 UUU を書き留めましょう。
ピボットの個数としての階数 rrr
この例で r=2r = 2r=2 であることを書き、rrr 個のピボット変数 x1,x3x_1, x_3x1,x3 と n−rn-rn−r 個の自由変数 x2,x4x_2, x_4x2,x4 を数え、消去法で零空間は変わらず列空間は変わることを書き留めましょう。
ピボット列と自由列の違い
ピボット列は独立な列で、自由列はそれより前の列に従属していることを書き、例の2列目が1列目の2倍であること、3行目が1行目と2行目の和であることを挙げましょう。