主軸定理と楕円体

行が $(2,-1,0)$, $(-1,2,-1)$, $(0,-1,2)$ の行列に、行列式・ピボット・固有値による判定を行い、固有値 $2-\sqrt{2}$, $2$, $2+\sqrt{2}$ をトレースと行列式で検算しましょう。

$x^TAx$ を $2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3$ に展開し、二乗の項を対角成分に、交差項を非対角成分に対応させて、$x_1x_3$ の項がないことを確かめましょう。

$x^TAx=1$ でお椀を切ると楕円体になることを書き、場合分けを書き出しましょう。固有値がすべて等しければ球、2 つが等しければラグビーボール、3 つとも異なれば長さの違う 3 本の軸をもつ形になります。

$Q$ が直交行列、$\Lambda$ が対角行列であるこの分解を書き、固有ベクトルが楕円体の主軸の向きを与え、固有値が半軸の長さ $1/\sqrt{\lambda_i}$ を決めることを書き留めましょう。