零空間の特殊解

自由変数の1つを $1$、ほかを $0$ とおき、$U$ で後退代入してピボット変数を求め、両方の場合を計算して $(-2,1,0,0)$ と $(2,0,-2,1)$ を導きましょう。

$x = c_1(-2,1,0,0) + c_2(2,0,-2,1)$ と書き、自由変数1つにつき特殊解が1つ得られること、$Ax = 0$ のどの解もそれらの一次結合であることを書きましょう。

$(-2,1,0,0)$ を $-2(\text{col }1) + 1(\text{col }2) = 0$ に書き直し、$(2,0,-2,1)$ も、$1$、$3$、$4$ 列目のあいだの対応する関係に書き直しましょう（列はどれも $A$ の列です）。

$4 \times 3$ の転置行列を消去して階数 $2$ を求め、$A$ と $A^{\mathsf{T}}$ の階数がつねに等しいことを書き、ただ1つの特殊解による $c(-1,-1,1)$、つまり原点を通る直線を書きましょう。