固有値だけでは相似を分類できない理由

重複固有値 $4$ をもつ行列が1つではなく2つの家族に分かれることを述べ、どの行列も $\Lambda$ にたどり着く、固有値が相異なる場合と対比しましょう。

どの正則行列 $M$ についても成り立つ計算 $M^{-1}(4I)M=4M^{-1}M=4I$ を再現し、この家族のメンバーがちょうど1つであることを書き留めましょう。

$\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ や $\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 17 & 4 \end{pmatrix}$ のようなメンバーを挙げ、トレース $8$ と行列式 $16$ を確かめ、ジョルダン標準形がいちばんよい代表であることを書きましょう。

$4I$ は一次独立な固有ベクトルを2本もつのに対し、もう一方の家族のメンバーはどれも1本しかもたないこと、そしてこの本数が相似な家族の中で保たれることを書き留めましょう。