行列式を決める三つの性質だけから、なぜ n×n 行列の行列式は、各行・各列から一つずつ成分を選んだ n! 個の符号つきの積の和になるのでしょうか。
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、行の入れ替え、行についての線形性からの導出
三つの性質を書き、 行列を各行についての線形性で四つの行列式に分け、列がまるごと 0 になる二つを除いて にたどり着きましょう。
項の公式
列の番号のすべての置換にわたる和で、各行・各列から成分を一つずつ選び、符号は置換の偶奇で決まることを書き、 の六つの項を書き並べましょう。
反対角線の符号と単位行列での確認
の反対角線方向の項には負の符号がつく一方で、反対角線に 1 が並ぶ 行列では になることを書き留め、公式を で確かめましょう。
0 と 1 でできた疎な 行列の例
0 を避けて行列の中を通る経路をたどり、生き残る二つの項 と を残して と結論し、0 になる行の一次結合を示しましょう。