特異値分解を AᵀA に帰着させる

$A = U\Sigma V^T$ を $A^T A$ に代入し、$U^T U = I$ を使って、積を $V\Sigma^2 V^T$ まで計算し、固有値分解の形として書きましょう。

$V$ の列が、対称で半正定値な $A^T A$ の正規直交な固有ベクトルであり、各 $\sigma_i$ が対応する固有値の正の平方根であることを書き留めましょう。

$U$ の列が $AA^T$ の固有ベクトルであることを述べ、$AB$ と $BA$ が同じ 0 でない固有値をもつという事実を、$A^T A$ から求めた $\sigma_i^2$ と一致することとあわせて書き留めましょう。

$U$ の固有ベクトルの符号は自由に選べないという規則を書き留め、各 $u_i$ を別の固有ベクトル計算からではなく $Av_i = \sigma_i u_i$ から求めましょう。