直交する部分空間

垂直なベクトルを内積で判定する条件を書き、$\|\mathbf{x}\|^2 + \|\mathbf{y}\|^2 = \|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|^2$ から出発して $(\mathbf{x}+\mathbf{y})^T(\mathbf{x}+\mathbf{y})$ を展開し、項を打ち消してこの条件を導きましょう。

この組で2つの計算を最後まで行いましょう。内積は $2 - 2 + 0 = 0$、長さの二乗は $14 + 5 = 19$ で、$\mathbf{x}+\mathbf{y} = (3,1,3)$ の長さの二乗と一致します。

$S$ のすべてのベクトルが $T$ のすべてのベクトルと直交しなければならないことを書き、条件を満たさない例として、$\mathbb{R}^3$ で1本の直線に沿って交わる2枚の平面を書き留めましょう。

零ベクトルはすべてのベクトルと直交すること、直交する部分空間はゼロでないベクトルを共有しないこと、$\mathbb{R}^2$ で条件を満たすのは原点を通る垂直な2本の直線だけであることを書き留めましょう。