直交補空間としての零空間

$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を1行ずつ書き出して、各行と $\mathbf{x}$ の内積が 0 になることを示し、それを一次結合 $c_1(1\text{ 行目}) + \cdots + c_m(m\text{ 行目})$ に広げましょう。

零空間が行空間と垂直なベクトルをすべて含むことを書き、次元 $r$ と $n-r$ の和が $n$ になることで裏づけ、$\mathbb{R}^3$ の垂直な2本の直線ではこの組にならないことを書き留めましょう。

$A$ として、行が $(1,2,5)$ と $(2,4,10)$ の行列をとり、行空間が $(1,2,5)$ を通る直線で、零空間が平面 $x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0$ であることを突き止めましょう。

四つの部分空間の組み合わせを書き留めましょう。$\mathbb{R}^n$ の中では行空間と零空間、$\mathbb{R}^m$ の中では列空間と左零空間で、後者は同じ議論を $A^T$ に繰り返して得られます。