次元定理

$3 \times 4$ 行列（行は $(1,2,3,1)$、$(1,1,2,1)$、$(1,2,3,1)$）を行簡約してピボットが 2 つになることを確かめ、そのピボット列を基底にとって、$\dim C(A) = r$ を書き留めましょう。

言葉の区別を書き留めましょう。階数は行列の性質、次元は空間の性質であり、階数は列空間の次元に等しくなります。

自由変数に $(1,0)$ と $(0,1)$ を入れ、後退代入で $(-1,-1,1,0)$ と $(-1,0,0,1)$ を求めて、$\dim N(A)$ が自由変数の個数に等しいことを書きましょう。

$m \times n$ で階数 $r$ の行列には、列空間を張る $r$ 個のピボット列と、それぞれが零空間の基底ベクトルを 1 本ずつ与える $n - r$ 個の自由列があることを書きましょう。