特異値分解の計算：2つの例題

$A = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ -3 & 3 \end{bmatrix}$ から $A^T A = \begin{bmatrix} 25 & 7 \\ 7 & 25 \end{bmatrix}$ を経て、$\sigma_1 = \sqrt{32}$、$\sigma_2 = \sqrt{18}$ と $v_1, v_2 = (1, \pm 1)/\sqrt{2}$ まで計算を進めましょう。

$AA^T$ が対角成分 $32$ と $18$ の対角行列になることに注目し、分解を書き下す前に、各候補 $u_i$ を $Av_i = \sigma_i u_i$ で確かめましょう。

$A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{bmatrix}$ について、$v_1 = (0.8, 0.6)$、$v_2 = (0.6, -0.8)$、$u_1 = (1,2)/\sqrt{5}$、$u_2 = (2,-1)/\sqrt{5}$ と $\sigma_1 = \sqrt{125}$ を書き留めましょう。

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sqrt{125} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ を使って積全体を書き、$A$ を再構成するとき $v_2$ と $u_2$ には 0 が掛かることを書き留めましょう。